Bài toán trên là một định lý của Jacobson (tìm bằng từ khóa Jacobson's theorem sẽ thấy), thực ra định lý phát biểu khác một chút (tổng quát hơn bài toán):
Cho G là một vành bất kỳ (không nhất thiết có đơn vị), giả sử với mọi x thuộc G tồn tại n=n(x)>1 (phụ thuộc x) sao cho x^n=x. Khi đó G là một vành giao hoán.

Trong trường hợp n=2 thực ra không cần phải dữ kiện vành có đơn vị. Dễ dàng có được http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=-x với mọi x G, thế thì với a,b G ta có: http://dientuvietnam...ex.cgi?a b=(a b)^2=a^2+b^2+ab+ba=a+b+ab-ba  http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba.

Với n cao hơn có lẽ phải cần dữ kiện vành có đơn vị.

Lotus có thể chỉ ra chỗ "dễ dàng có được x=-x" rõ hơn được không? Mình chỉ biết nếu vành G có đơn vị thì suy ra được x=-x, còn nếu G không có đơn vị thì chưa biết suy ra như thế nào.

Giả sử ta đã có 6x=0, 3x^2=3x, và 2xy=2yx (xem các bài post của bác bupbebe).

Khi đó, từ 3(x+y)=3(x+y)^2=3(x^2+xy+yx+y^2), suy ra 3xy+3yx=0. Vì 6yx=0 suy ra 3xy-3yx=0, kết hợp với 2xy=2yx, suy ra xy=yx.

Nếu xy=0 thì suy ra yx=0 (dễ CM). vậy xy=yx(=0)

Xin lỗi, nhưng Ham_Toan viết cụ thể hơn được không?

Có thể "ý nghĩa" bài tập là đưa ra một tiêu chuẩn để xem khi nào một vành có 2^n+1 phần tử là một trường. Nhưng có lẽ trước khi kiểm tra 2 điều kiện a) và b) thì mình nên kiểm tra xem vành này có phải là có 9 phần tử không (chắc là dễ kiểm tra hơn). Nếu vành này không phải là vành có 9 phần tử thì chắc chắn nó không thể là một trường vì phương trình 2^n+1=p^m chỉ có nghiệm là n=3, m=2 (Suy ra từ Catalan's conjecture, cái này đã được chứng minh )

Cảm ơn bạn redline.

Công nhận là việc chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H^0(X,\tilde{J})=J là mấu chốt. Pizza (hoặc redline hoặc ai đó khác) nếu rảnh thì viết chứng minh chi tiết giúp với. Cảm ơn nhiều.

Tiêu đề của bài này có lẽ phải là "Trả lời cho vành giao hoán không Noether" chứ?

Định lý này hay ghê

Định lý. Cho hệ hữu hạn hàm nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n. Khi đó ideal sinh bởi các hàm đó chính là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}\{x_1,\cdots,x_n\}.

(Để hiểu được chứng minh định lý này cũng rất thú vị. )

Bạn redline nếu có thời gian viết chứng minh cho bọn tớ xem với nhé (Tớ sửa lỗi chính tả: "chung", không phải "trung" ).

Chỗ này không hiểu lắm

Với mỗi số nguyên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m, ký hiệu http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?m. Khi đó, dùng các tích Weierstrass, ta xây dựng được các hàm phức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_m chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}, có tập không điểm chính là là http://dientuvietnam...imetex.cgi?A_m. Khi đó, mọi tập hữu hạn các hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_m đều có vô hạn không điểm chung. Và toàn bộ các hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_m thì không có không điểm chung nào. Từ đó suy ra ideal http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I sinh bởi tất cả các hàm đó là một ideal thực sự của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}\{x_1}. Ideal http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I không hữu hạn sinh được suy ra từ định lý đã phát biểu.

Ideal I là ideal thực sự suy ra từ đâu vậy, có phải là từ việc toàn bộ các hàm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_m không có không điểm chung, và nếu suy ra từ điều này thì suy như thế nào ?

Thế thì chắc là sang các trường Paris rồi. Mà cũng đúng thôi, nếu làm kiểu M1 với M2 thì đúng kiểu pháp rồi. Cái này chắc do ý kiến của anh Châu đề xuất.

Mình không biết rõ!

@MrMATH: Mình nghĩ khoảng cách về địa lý không phải là vấn đề quan trọng.

Dưới đây là thông báo về việc tuyển học viên của Đề án "Phối hợp Đào tạo thạc sĩ trình độ quốc tể" của Viện Toán học. Thông báo này dán ở bảng tin của Viện Toán học, tuy nhiên tôi chưa thấy đưa lên trang web của Viện, nên tôi xin phép được post lên ở đây.

Thông báo về việc tuyển học viên của Đề án "PHỐI HỢP ĐÀO TẠO THẠC SĨ TOÁN HỌC TRÌNH ĐỘ QUỐC TẾ" của Viện Toán học

Theo quyết định số 3944/QD-BGDT kí ngày 31/07/2007 của Bộ Giáo dục và Đạo tạo, từ năm học 2007-2008, Viện Toán học được phép đạo tạo cao học theo Đề án "Phối hợp đào tạo thạc sĩ Toán học trình độ quốc tế". Đây là một đề án nằm trong khuôn khổ các đề án đào tạo cán bộ tại nước ngoài bằng ngân sách Nhà nước do Bộ Giáo dục và Đào tạo quản lí. Học viên của Đề án này sẽ học 1 năm (M1) tại Viện Toán học, năm thứ (M2) sẽ được cử đi học ở các trường đại học nước ngoài là đối tác của Viện Toán học.

Học kì 1 của M1 sẽ được giảng dạy bằng tiếng Việt và tiếng Anh. Học kì 2 sẽ được giảng hoàn toàn bằng tiếng Anh. Viện sẽ mời một số giáo sư ở nước ngoài tham gia giảng dạy. Đề án có lớp dạy Tiếng Anh nâng cao cho học viên.

Học viên của Đề án sẽ được trợ cấp học bổng là 700.000đ/tháng, trong thời gian 9 tháng. Những học viên ngoài Hà Nội còn được hỗ trợ một phần tiền thuê chỗ ở. Đặc biệt, học viên chưa có việc làm sẽ được Viện xem xét kí hợp đồng làm việc có thời hạn. Học viên không phỉa đóng học phí.

Chỉ tiêu được tuyển: 10
Lịch tuyển chọn trong năm học 2007-2008 như sau:
Việc tuyển chọn được chia làm 3 vòng:
- Vòng 1: Sơ tuyển hồ sơ (theo mẫu kèm theo). Hạn nộp hồ sơ: trước ngày 15/9/2007.
Hồ sơ dự tuyển gửi về: MathAcad, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội.
Điều kiện: Thí sinh phải tốt nghiệp Đại học từ loại khá trở lên, có điểm trung bình các môn Toán từ 7 điểm trở lên, không quá 30 tuổi.

- Vòng 2 (Thứ 6 ngày 28 tháng 09 và Thứ 7 ngày 29 tháng 09): Thi viết 3 môn: Đại số (Đại số tuyến tính và Đại số đại cương), Giải tích (Giải tích cổ điển và một phần giải tích hàm), và Tiếng Anh (2 bài dịch Anh-Việt và Việt-Anh về Toán). Thí sinh nào đã có chứng chỉ TOEFL từ 450 trở lên hoặc tương đương thì được miễn thi môn tiếng Anh.

- Vòng 3 (ngày 02 và 03 tháng 10): Phỏng vấn (các kiến thức chung về Toán).

Thí sinh dự thi vòng 2 và vòng 3, nếu không đựoc cơ quan chủ quan trợ cấp, sẽ được Viện tài trợ tiền ăn, ở tại Hà Nội và được thanh toán tiền tàu (vé ngồi cứng).

Lịch học: Khai giảng ngày 29/10/2007 và kết thúc tháng 7/2008.

Chú ý:
- Yêu cầu bắt buộc để được tiếp tục học M2 (ở nước ngoài) là học viên phải có chứng chỉ TOEFL đạt 550 điểm trở lên hoặc tương đương vào tháng 7/2008.

- Thí sinh đạt yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ, nhưng xếp từ thứ 11 trở lên, có thể đăng ký học tự túc. Những học viên này không phải đóng học phí, và sau khi tốt nghiệp M1 sẽ được Viên liên hệ học tiếp M2 ở nước ngoài bằng các học bổng khác.

Viện Toán học
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú thích của noproof: -Trong mục Vòng 1 có ghi Hồ sơ theo mẫu kèm theo, nhưng rất tiếc tôi không tìm thấy. Mọi người quan tâm, đề nghị liên hệ trực tiếp đến:

Chị Khổng Thị Phương Thúy
Điện thoại: 04 7563474 (số máy lẻ 201)

- Những sai sót do đánh máy có thể gây hiểu nhầm là hoàn toàn thuộc trách nhiệm của tôi.

Cái chuơng trình này có vẻ hay đấy. Tuy nhiên không biết là ai giảng dạy và sẽ học năm thứ 2 ở nuớc nào?

Tớ cũng không biết rõ lắm. Theo thông tin không chính thức (ở bữa ăn) thì năm thứ 2 sẽ sang học một số trường ở bên Pháp (không hỏi rõ trường)...., nhưng chắc chắn sẽ không sang học ở Lào hoặc Campuchia , tại thời điểm hiện tại.

Vào lúc 9h30 thứ 7 ngày 16/8/2008 ở Viện Toán học có một báo cáo mời về tính chất số học của đường cong elliptic.
Người báo cáo: Giáo sư Benedict Gross, khoa Toán Đai học Harvard. Giáo sư B. Gross là thành viên của Quỹ Giáo dục Việt Nam (VEF), thành viên hội đồng biên tập các tạp chí hàng đầu như Annals of Math., Journal of AMS, Compositio Math.

Kính mời tất cả những ai (sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh,...) quan tâm đến dự.
------------------------------------------------------------
The arithmetic of elliptic curves
Prof. Benedict Gross
Harvard University, USA

Địa điểm: P301, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội
Thời gian: 9h45-11h00 ngày thứ bảy ngày 16/8/2008
(Tiệc trà bắt đầu vào lúc 9h30)


Abstract: The arithmetic of elliptic curves involves the question of finding solutions to cubic equations in two variables, over finite fields and the field of rational numbers. I will survey some classical work of Fermat on the subject, and describe the group law on the set of solutions. I will then describe Mordell's theorem on the group of rational points and the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer on L-series of the curve at s=1. I will end with a construction of rational points that I found with Don Zagier, when the L-series vanishes to order 1.

Project Flyspeck của NSF (USA) cần tìm sinh viên đang học ngành Toán, có tư duy tốt
về logic, biết sử dụng máy tính, biết tiếng Anh chuyên ngành. Công việc partime, có
thể làm tại nhà.

Công việc cụ thể là dùng chương trình HOL Light (có thể download miễn phí từ internet) để viết lại các chứng minh của giả thuyết Kepler cho máy tính.

Có thể tìm đọc chứng minh và một số ví dụ của công việc từ trang web:
http://code.google.com/p/flyspeck/

Tiền lương phụ thuộc vào khối lượng công việc thực hiện được (trung bình khỏang
200-400$/tháng).

Ưu tiên hơn cho sinh viên học ở các lớp tài năng, gia đình có hòan cảnh khó khăn.

Chi tiết xin liên hệ: 0989244910
Hoặc phòng 116, viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt (Điện thoại: 04 7563474, số máy lẻ 116).

Thời gian: đến hết ngày 15/7/2008


Chú thích: (1) Tớ chỉ là người đưa thông tin, mọi thắc mắc có thể hỏi trực tiếp đến địa chỉ, số điến thoại ở trên.
(2) Nếu Ban quản lý diễn đàn nếu thấy đây là một bài spam, không đúng với Mục này thì làm ơn gửi vào Mục Quán cóc, đừng xóa, vì dù sao đây là một cơ hội cho những người nghèo (như tớ chẳng hạn ).

Ma trận A phải có hệ số thực thì bất đẳng thức mới có hy vọng đúng, phản ví dụ không khó.

Giả sử A là ma trận hệ số thực, gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda là giá trị của A, khi đó tồn tại b_i, i=1,...n các số phức không đồng thời bằng 0 sao cho:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{b_i} rồi cộng lại theo i, được:
.

Lấy liên hợp của s ta có
.
Ta có
.
Mặt khác
.
Suy ra .

(Cách làm giống vớí chứng minh một ma trận đối xứng có các giá trị riêng đều là thức)

sao không ai chỉ giúp mình một phản ví dụ?

Bạn có thể xem "Fields and Galois theory" của James Milne, cho free trên mạng. Ví dụ đó là: Example 5.5, page 48. Tôi nhắc lại ví dụ này ở dưới đây.
Cho k là trường đóng đại số đặc số p>0. Cho X, Y là các biến độc lập đại số trên k. Gọi F=k(X,Y), trường các phân thức hữu tỷ 2 biến X, Y trên k. Gọi E=k(X^p,Y^p). Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn nhưng không phải là mở rộng đơn.

(Có thể xem thêm bài tập 3, Chapter VII trong Algebra của S. Lang)

Mình Không biết Mở rộng Nhóm là gì, nhưng nếu mở rộng trường thì đơn gian thôi.
Phản ví dụ đó là Trường số phức C = R(i), có bậc bằng 2 nhưng không là mở rộng đại số vì e, in C nhưng không là phần tử đại số trên R.

Tớ không biết bạn nói đên e, pi nào, nhưng nếu nói đên e, pi theo nghĩa thông thường thì chúng là đại số trên R vì chúng là các số thực.

Ai rỗi rãi thử tính số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{2p} xem sao. Biết đâu lại suy ra được Định lý lớn Fermat 

Noproof cũng mong như thế nhưng bực quá, mới đánh xong bài này thì lại mất điện, đành phải viết súc tích vậy, hy vọng không nhầm lẫn nhiều.

Tính theo cách của bác canh_dieu, với H là nhóm con p-Sylow (cấp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^2) sinh bởi 2 xích cấp p giao hoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta thỏa mãn http://dientuvietnam...gi?2[p(p-1)]^2, số nhóm p-Sylow của http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{2p} là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{(2p)!}{2[p(p-1)]^2}.

Số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_p bằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?(p-2)! thì phải.

(Tính số hoán vị cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p (sau đó chia cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p-1) với nhận xét là một hoán vị có cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p khi và chỉ khi nó là xích độ dài http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p, vì cấp của của một hoán vị bằng bội chung nhỏ nhất của các độ dài các xích của hoán vị này.)

Định lý 7.8 (trong sách của J.Milne) phát biểu rằng có một tương đương giữa 2 phạm trù: phạm trù các nhóm đại số etale trên k và phạm trù các nhóm hữu hạn được trang bị một tác động của nhóm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma=Gal(k_s/k). Cũng có nghĩa là việc cho một nhóm đại số etale G trên k, tương đương với việc cho một nhóm hữu hạn X với tác động của nhóm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma lên nó (X cũng được gọi là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma-nhóm).
Định lý 7.6 chỉ rõ hơn nếu G có cấp n thì X cũng có cấp n( cấp theo nghĩa thông thường). Việc phân loại các nhóm etale cấp n trên k(chính xác đến đẳng cấu), tương đương với việc phân loại các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma-nhóm cấp n.

Ví dụ trong sách của J.Milne
(Cho trước X là một nhóm hữu hạn, việc trang bị một tác động của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma=Gal(k_s/k) lên X tương đương với việc cho một đồng cấu nhóm liên tục từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma vào Aut(X), trong đó Aut(X) được trang bị tô pô rời rạc còn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma được trang bị tô pô Krull, xin xem thêm Field theory (FT) cũng của J.Milne)

Nếu X là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma-nhóm cấp 1, 2 thì vì Aut(X)=1 nên chỉ có duy nhất một nhóm etale cấp 1, hoặc 2.

Nếu X là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma-nhóm cấp 3 thì khi đó X là cylic cấp 3 (sai khác đẳng cấu nhóm thì chỉ có một nhóm như vậy, nhưng chúng ta cần phải xét thêm tác động của nhóm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma lên X). Ta có Aut(X) là cylic cấp 2. Trong sách đã chỉ ra (xem cả FT) việc cho một đồng cấu liên tục không tầm thường từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma vào Aut(X) tương đương với việc cho một mở rộng bậc 2 tách được K/k. (Chú ý rằng đối với mở rông bậc 2 thì tách được suy ra chuẩn tắc, suy ra Galois.)

Tóm lại, có một tương đương giữa các nhóm etale cấp 3 (sai khác đẳng cấu) khác nhóm hằng trên k với tập các mở rộng tách được bậc 2 trên k (sai khác đẳng cấu). (Nhóm etale hằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G_0 thì tương ứng với đồng cấu tầm thường tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma vào Aut(X).)
Vậy số các nhóm etale cấp 3 (sai khác đẳng cấu trên k) chính bằng số các mở rộng tách được bậc 2 trên k cộng với 1.

Ví dụ khi k=R, thì chỉ có 1+1=2 nhóm etale cấp 3. (C/R là mở rộng bậc 2 tách được duy nhất, sai khác đẳng cấu). Từ đó suy ra, chỉ có 2 nhóm đại số hữu hạn trên R (vì mọi nhóm hữu hạn trên trường đặc số 0 là etale)
Đối với việc phân loại nhóm etale (hữu hạn) cấp 4 trên R bạn quantum-cohomology làm tiếp thử xem. X trong trương hợp này có thể là cylic hoặc Z_2*Z_2, suy ra Aut(X)=..., mình cũng chưa làm thử.

Ta có http://dientuvietnam...imetex.cgi?(m,p)=1, ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?U_n là nhóm con của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q) gồm các ma trận lũy đơn (unipotent matrix), tức là nhóm các ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo là 1. Khi đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n là một nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q). (Tương tự chi ra nhóm các ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo là 1 cũng là nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q).)

[quote name='Mr Stoke' date='Oct 18 2005, 04:35 PM']Cho trước http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là một nhóm và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một tập các số nguyên tùy ý thỏa mãn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(xy)^n=x^ny^n với mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,y thuộc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G và mọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n thuộc http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?S. Hãy xác định một điều kiện cần và đủ của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S để http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là một nhóm giao hoán, ie... http://dientuvietnam...mimetex.cgi?(xy)^n=x^ny^n, thì G là nhóm giao hoán.

Câu hỏi của Mr Stoke là tìm điều kiện cần và đủ của tập S để nó có tính chất (P), hay là "đưa ra" tất cả các tập S có tính chất (P).

Hiển nhiên, nếu S có tính chất (P) thì mọi tập (con của Z) chứa S cũng có tính chất (P). Do vậy, ta sẽ chỉ cần tìm tất cả các tập S tối thiểu có tính chất (P), nghĩa là tìm các tập S có tính chất (P) và khi bỏ đi bất cứ phần từ s nào của S thì tập còn lại không còn tính chất (P) nữa. Một ví dụ là tập S={2} là một tập tối thiểu có tính chất (P). Ai đó tìm thêm ví dụ đi, cho sinh động , tìm được tất cả thì trả lời xong câu hỏi của Mr Stoke.

(Hy vọng, bài post này không làm vấn đề trở nên rối tinh, rối mù )

Xin được thực lòng chúc mừng bạn prime .

Bài báo của Lam và Lueng (1996) ở trên cũng được nhắc đến trong Mathworld khi nói đến cyclotomic polynomial (đa thức chia đường tròn): http://mathworld.wol...Polynomial.html

(Trong Mathworld cũng nói thêm:
Migotti (1883) showed that coefficients of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi_{pq}(x) for http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p and http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?q distinct primes can be only 0, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\pm 1 ).

Lời giải đúng rồi.
cho mình  hỏi điều này nhé

Đã có kết quả chứng minh các hệ số của đa thức chia đường tròn Fn với n=pq (p,q:nguyên tố ) chỉ nhận giá trrị -1,0,1 hay chưa

Tra trên mạng thì thấy chứng minh rồi: T.Y. Lam, Lueng K.H. "On the cyclotomic polynomial http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi_{pq}(X)", Amer. Math. Monthly 103 (1996), no. 7, 562--564. (Bài này chắc không phải là bài đầu tiên về vấn đề này).
Coppy đoạn rewiew đó ra nhé:

Let http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p and http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?q be distinct primes, and let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi_{pq}(x)=\sum^{(p-1)(q-1)}_{k=0}a_kx^k denote the (monic) cyclotomic polynomial whose zeros are the primitive complex http://dientuvietnam...imetex.cgi?pqth roots of unity. The authors give a quick and elegant proof that
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi_{pq}(x)=\sum\limits^r_{i=0}x^{ip}\sum\limits^s_{j=0}x^{jq}-x^{-pq}\sum\limits^{q-1}_{i=r+1}x^{ip}\sum\limits^{p-1}_{j=s+1}x^{jq},
where http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?r and http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?s are the unique nonnegative integers for which http://dientuvietnam...imetex.cgi?(p-1)(q-1)=rp+sq. As a consequence, http://dientuvietnam...metex.cgi?a_k=1 if and only if http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=ip+jq for some http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_k=-1 if and only if http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=ip+jq-pq for some http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i\in[r+1,q-1], http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_k=0 otherwise. Moreover, if say http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q>p, the middle coefficient http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{(p-1)(q-1)/2} equals http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^r.
The authors points out that H. Lenstra used a similar idea to compute http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Phi_{pq}(x) \ref[in Proceedings, Bicentennial Congress Wiskundig Genootschap (Vrije Univ., Amsterdam, 1978), Part II, 249--268, Math. Centrum, Amsterdam, 1979; MR0541398 (81c:10044)].

f(x)là đa thức hệ số nguyên bất khả quy, hệ số bậc cao nhất >0. f(x) nhận a và a^2 khác a là nghiệm. C/m f(x) là đa thức chia đường tròn.

Có một lời giải, hy vọng không sai (nhiều) .
Gọi K là trường phân rã (bác bupbebe không thích từ này:), spliting field) của đa thức f trên Q. Khi đó K là mở rộng Galois (hữu hạn) trên Q với nhóm Galois ký hiệu là G. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma là phần tử của G mà đưa http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a^2, giữ nguyên Q. Ta có http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n.
Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là cấp của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma, suy ra http://dientuvietnam....cgi?a^{2^n}=a. Vì f(x) bất khả quy trên Q (trên Z) nên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a khác 1 và a là căn của đơn vị. Do vậy đa thức bất khả quy P của nó là đa thức chia đường tròn. (Đa thức f đã cho có thể sai khác với đa thức P một thừa số nguyên).

Bên lề 1 chút prime định thời gian tới đọc lại lý thuyết Galois vì lúc học lười quá nên cảm thấy mơ hồ không hiểu , vậy nên đọc quyển sách nào (viết thật chi tiết, cặn cẽ, rõ ràng, quyển của thầy bác canh_dieu được không, viện toán có quyen đó không)

Ý prime định nói đến quyển Fields and Galois Theory của Patrick Morandi mà một lần bác canh_dieu có nhắc đến bên topic "Một nhóm cho bởi phần tử sinh và quan hệ" ? Nếu là quyển này thì ở thư viện Viện Toán có, tuy nhiên, noproof cũng chưa đọc qua quyển này.

Lời giải của prime đúng rồi!

1) ta cứ phân tích đa thức P ra các đa thức bkq(nếu giải sử nó khả quy)
P=F1...Fn
P có hệ số bậc cao nhất là 1 nên các Fi cũng thế và a^1975 là nghiệp của 1 trong các đa thức này suy ra đpcm1.

Chỗ này dùng bổ đề Gauss (như nemo), để có thể giả sử các Fi hệ số nguyên.

Cách giải của TQFT mình không hiểu lắm

Cách giải của NhoBL chỗ này hơi tắt (đối với mình )

Nếu không tồn tại c nào trong đoạn [0,1]để các hàm trong m triệt tiêu tại c thì tồn tại hàm f(x) trong m không triệt tiêu trên [0,1]

Mình chứng minh lại điều này nhé.
Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f=f_1^2+\cdots+f_n^2. Khi đó f thuộc m và f không triệt tiêu trên [0,1] (không có nghiệm trên [0,1]).