Bài 1: Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

b) $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

a,

Ta có:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{2}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{1}{\frac{(a+b)^2}{2}}=4+2=6$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

b,Bạn tách với làm tương tự nhé

Lưu ý:Khi tách để ý dấu bằng xảy ra nhé!

cho a,b là những số thực thỏa mãn $a+b=ab$ và $a,b> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ CMR: $\frac{1}{a^{2}+a-1}+\frac{1}{b^{2}+b-1}\geq \frac{2}{5}$

Ta có:$b=1=>a=0$ vô lí vì $a> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Nếu $b\neq 1$ có:$a(1-b)=-b <=>a=\frac{b}{b-1}$ từ đó thay vào điều phải chứng minh có

$\frac{1}{(\frac{b}{b-1})^2+\frac{b}{b-1}-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b(b-1)-(b-1)^2}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$5\left [ (b-1)^2+1 \right ]\geq 2(b^2+b-1)$

<=>$3(b-2)^2\geq 0$ đúng

Dấu bằng xảy ra:$a=b=2$

Cho a,b,c dương. CMR:

$(\frac{4a}{c+b}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$

Ta có:BĐT pcm<=>$(4a+b+c)(4b+a+c)(4c+a+b)> 25(a+b)(b+c)(c+a)$

<=>$a^3+b^3+c^3+7abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT trên đúng vì $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ là bđt schur

$a,b,c>0$=>$4abc>0$ => đpcm

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

Đặt $a=x^3,b=y^3,c=z^3,abc=1=>xyz=1$

Áp dụng bất đẳng thức $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ bạn tự chứng minh nhé biến đổi tương đương

=>$\frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự ta có:$\frac{1}{y^3+z^3+1}\leq \frac{x}{x+y+z},\frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{y}{x+y+z}$

Từ đó có:$VT\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1=>Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=1$

Bài toán mở rộng của bài toán thi USA MO

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Sai rồi, BDT Schur bậc 3 là $a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Chứng minh:

 

$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$

 

Giả sử $a=\text{min{a;b;c}}$, đặt $2t=b+c$

 

Khi đó $f(a;b;c)-f(a;t;t)=\left[b+c-\dfrac{5}{4}a \right](b-c)^2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t)=a^3+at^2-2a^2t=a(a^2-2at+t^2)=a(a-t)^2 \geqslant 0$

Tớ chỉ tính toán sai thôi mà!Mà đề bài cho $a,b,c>0$ có dấu bằng à bạn.Nếu có chỉ giáo xem

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

 

 

Mình xin trình bày lời giải của mình

Áp dụng bổ đề.Nếu $a,b$ là 2 số dương thỏa mãn $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Ta có:

$P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}=\frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Theo bổ đề có

$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Từ đó:$P\geq \frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}=Q$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}=>t\in \left [ 1;2 \right ]$

Khi đó $Q=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{t+1}=(\frac{t^2}{2t^2+3}-\frac{4}{11})+(\frac{2}{t+1}-\frac{2}{3})+\frac{34}{33}=\frac{3(t^2-4)}{11(2t^2+3)}+\frac{2(2-t)}{3(t+1)}\frac{34}{33}=\frac{(2-t)(35t^2-27t+48)}{33(2t^2+3)(t+1)}+\frac{34}{33}\geq \frac{34}{33}$

Dấu bằng xảy ra $t=2 =>x=4,y=1,z=2$

Bài toán này dùng kiến thức THCS hơi khó.Mâu chốt là dùng bất đẳng thức mình đã tô màu đỏ và đặt ẩn.Bài 6,7 đều là những bài dùng điểm rơi rất hay!

Thêm bài tập nhé

21*,Cho $x,y$ thỏa mãn $0\leq y\leq x\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất biểu thức $A=\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy}}$

22*Cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất biểu thức $P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$

23,Cho $x,y$$x,y$ thỏa mãn $x^2+3xy+4y^2\leq \frac{7}{2}$.Tìm giá trị lớn nhất $x+y$

Toàn những bài khó, làm giáo viên cấp 2 mấy năm rồi nhưng chưa chắc đã thành thạo được mấy bài này

Thầy nói quá rồi thầy ạ.Thầy là giáo viên dậy học sinh kiến thức nên cũng có lúc không làm được là điều bình thường ạ!

Lâu topic không hoạt động hôm nay mình xin post một số bài nhé.Mong các bạn học rồi thì cũng ôn lại

24,Cho $a,b>0;a+b\leq 1$.Tìm min:

a,$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

b,$A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

25,Cho $x,y,z> 0$ phân biệt thỏa mãn:$(x+z)(z+y)=1$.Tìm min:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}$

26,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$ab+bc+ac>0$.Tìm min của:$\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}+\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}$

P/S:Còn bài 21,22 mình gửi trên chưa bạn nào giải nhé các bạn giải quyết nốt

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

Bạn nhầm à $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ mà ?

Lần này mình xin post bài tập nhẹ với tương đối với kiến thức THCS nhé   

Bài 14:Cho $a,b>0;a+b=1$.Tìm min biểu thức:$P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Bài 15:Cho $a,b>0$ .Tìm min biểu thức $A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\frac{4}{a^2+b^2}$

Bài 16:Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!

Chào các bạn,trong thời gian vừa qua mình thấy trên diễn đàn toán khá nhiều bạn hỏi những bài toán về kỹ thuật chọn điểm rơi.Vì vậy hôm nay mình mở ra topic này để mọi người tìm hiểu và học thêm nhiều kiến thức.Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi là cân bằng hệ số thường được dùng rất hay trong các kỳ thi học sinh giỏi,kỳ thi tuyển sinh vào cấp 3

Sau đây,các bạn hãy đến với những ví dụ đầu tiên

Ví dụ 1:

Cho $x\geq 1$.Tìm min của biểu thức:$P=3x+\frac{1}{2x}$

Chắc chắn gặp bài toán này nhiều bạn sẽ giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2\sqrt{3x.\frac{1}{2x}}=2.\sqrt{\frac{3}{2}}$

Dấu bằng xảy ra:$3x=\frac{1}{2x}$ từ đó giải được $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ nhưng lại không thỏa mãn điều kiện $x\geq 1$

Vì thế chúng ta không thể kết luận được min của biểu thức

Ví dụ 2:

Cho $a,b,c>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$p=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Lời giải 

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2+2+2=6$

Nhưng lúc nhìn lại dấu bằng lại không có bội nào thỏa mãn

Qua đó,nhiều bạn sẽ đặt ra câu hỏi làm bài toán trên như thế nào

Xin quay trở lại ví dụ 1

Ta có:$P=3x+\frac{1}{2x}$

Lời giải của sách:

Ta cân bằng hệ số $3=k+(3-k)$

Vơi 0<$k<3$ ta sẽ có biểu thức viết lại như sau

$P=(3-k)x+kx+\frac{1}{2x}$

Đến đây sử dụng bất đẳng thức cô si ta được $(3-k)x\geq 3-k,kx+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{k}{2}}$

Suy ra $p\geq 3-k+\sqrt{2k}$

Xét dấu bằng xảy ra:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ kx=\frac{1}{2x} & & \end{matrix}\right.$

                        $<=>k=\frac{1}{2}$

Với $k=\frac{1}{2}$ là số thích hợp

Thay vào ta có:$P\geq 3-\frac{1}{2}+\sqrt{2.\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

Ta thay vào thỏa mãn đề bài.Bài toán như vậy đã được giải quyết

Chắc chắn khi đọc lời giải này nhiều bạn sẽ không hiểu tại sao lại giải như vậy.Vì vậy tớ sẽ làm theo ý hiểu của riêng mình,mong là mọi người dễ hiểu hơn

Trước hết ta đi phân tích ở một số giả thiết.Vì đề bài ra là $x\geq 1$ nên việc sơ cấp đầu tiên là mọi người đều nghĩ ra là dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Gọi $y$ là số ta định chọn điểm rơi

Ta biết dấu bằng xảy ra tại $3x=y.\frac{1}{2x}$

mà ở trên dự đoán $x=1$ nên thay vào tính được $y=6$

Từ đó lời giải hoàn chỉnh là

Ta có $P=3x+\frac{1}{2x}=3x+\frac{6}{2x}-\frac{5}{2x}\geq 2.\sqrt{3x.\frac{6}{2x}}-\frac{5}{2x}=6-\frac{5}{2x}$

Mà $x\geq 1$ nên $2x\geq 2$

hay $\frac{5}{2x}\leq \frac{5}{2}$(vì $2x>0$)

suy ra $-\frac{5}{2x}\geq -\frac{5}{2}$

Từ đó:$P\geq 6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

Đáp số vẫn ra như trên nhưng cách giải của mình hoàn toàn khác

Ta quay trở lại vídụ 2

Theo lời giải của mình và cách tách như mình nhé:

Ta có dấu bằng xảy ra:$k\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}$

Dự đoán $a=b=c$ nên ta chọn được $k=\frac{1}{4}$

Từ đó:Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$\frac{1}{4}\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$

Tương tự ta có:

$P\geq 3+\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c})$

Trong ngoặc ta sẽ dễ dàng chứng minh $\geq 6$

Ta có:$P\geq 3+\frac{3}{4}.6=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra $a=b=c$

Trên là những bài toán rất dễ dự đoán dấu bằng ,mình xin nêu một số bài toán khó dự đoán dấu bằng

Xét ví dụ sau

Ví dụ 3:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh:

A=$10x^2+10y^2+z^2\geq 4$

Một số bạn dự đoán dấu bằng tại $x=y=z$ nhưng lại không thỏa mãn đề bài

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:

$2x^2+2y^2\geq 4xy$

$8x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4xz$

$8y^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4yz$

Đến đây có

$A\geq 4(xy+yz+xz)=4$.Dấu bằng xảy ra

$\left\{\begin{matrix}x=y & & \\ 4x=z & & \\ 4y=z & & \end{matrix}\right.$

hay $\left\{\begin{matrix}x=y=\frac{1}{3} & & \\ z=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài toán tuy lời giải rất đơn giản nhưng ai nghĩ ra được dấu bằng như vậy không.Theo mình những bài trên đã là những bài rất hay và khó  rồi,mình không rõ lời giải tổng quát bài toán.

Bài toán trên sẽ khó hơn nếu đề ra là

Tìm min:$A=10x^2+10y^2+z^2$ vì dấu bằng xảy ra không tại x=y=z

Qua các bài toán trên,mình mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về kỹ thuật này.Bài viết này không tránh khỏi những chỗ sai nên mong các bạn góp ý cho topic.Mong các bạn ủng hộ topic mình nhé.Mình xin cảm ơn!

Dưới đây là bài tập vận dụng.Mình sẽ post từ dễ đến khó những bài khó mình sẽ tô màu đỏ.Mong các bạn làm hết rồi sẽ post bài khác kẻo tràn bài toán trên topic

1,Cho $a\geq 2$.Tìm min $A=2a+\frac{1}{a}$

2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$

3,Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn:$0\leq a\leq 3$ và $a+b=11$.Tìm max $P=ab$

4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$

5,Cho ${\color{Red} x,y\geq 0}$ thỏa mãn:${\color{Red} x^2+y^2=5}$.Tìm min:${\color{Red} P=x^3+y^6}$

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

Xin post tiếp một số bài hay nhé

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

9,Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh:$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\leq 2(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

Mong các bạn post bài trong topic thì đánh số thứ tự bài cho đỡ lẫn nhé.Cảm ơn.Ba bài màu đỏ rất hay

Thực ra, pp này không nhất thiết là cứ phải dự đoán mới được

Đặt hệ số vào, kết hợp với dữ kiện bài cho, ta sẽ có được cách tách phù hợp

Một số bài toán dùng điểm rơi đâu có dấu bằng xảy ra .Cách của mình cũng gọi là một phần mò nhưng nó vẫn áp dụng ý tưởng dấu bằng xảy ra cho điểm rơi thôi.Mình phải làm sao cho họ hiểu được phương pháp 

Những bài này theo anh không hẳn là điểm rơi em à! hơn nữa nó khá khó so với trình độ $THCS$  ( do ở đây là box THCS )

Như bài thứ $6$ phải dùng đạo hàm đây!

Đặt $P=f(x)$ thì $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;2]$

Ta lấy đạo hàm $f'(x)=\frac{2x^2+4x-6}{(x+1)^2}$

Do $ x\in [0;2]$ nên $f'(x)=0$ khi $x=1$

Tính $f(0)=3;f(1)=1,f(2)=\frac{5}{3}$

Vây nên $Max P=3 và Min P =1$

Dùng phương pháp miền giá trị anh ơi.Cái này đâu còn đến đạo hàm đâu anh 

4 bài này tặng pic. 

10. Cho $a,b,c \in [1;2]$.

CM: $\frac{(a+b)^2}{2c^2+2ab+3c(a+b)}+\frac{c^2}{(a+b)^2+6c(a+b)+4c^2}\geq \frac{3}{11}$

11. Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$.

CM: $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\geq 2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}$

 

Bài 10 tại đây nhé.

Bài 11.Mình gửi lên diễn đàn nhưng chưa ai làm nên mình cũng không muốn post lời giải cứ để vậy 

Mình xin khởi động nha

1.Điều kiện $x\geq 1$$x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a(a\geq 0)$

Ta có hệ sau:$\left\{\begin{matrix}x^2+1=a & & \\ a^2+1=x & & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 2 rồi tự giải tiếp được nhé 

Bài viết hay nên mong mọi người ủng hộ topic này

 

ĐK $x\leq 2$

Đặt $t= \sqrt{2-x}$ $(t\geq 2)$ thì ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^2-2=t & \\t^2-2=-x & \end{matrix}\right. PT(1)-PT(2) \Rightarrow (x-t)(x+t+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-t=0 & \\ x+t+1=0 & \end{bmatrix}$

Đến đây là OK rồi 

 

Lời giải của bạn nhầm rồi

Sau khi trừ 2 về ta có:$x^2-t^2=t+x$

chỗ này là đặt $t+x$ ra ngoài mà

Đây chưa hẳn là đối xứng loại 2

Đặt $u=x^2+1$,$v=y$. Ta có:$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{uv}+(u-1)v=u^2 \Leftrightarrow \sqrt{uv}-v=u^2-uv$

$\Leftrightarrow \frac{v(u-v)}{\sqrt{uv}+v}=u(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(\frac{1}{\sqrt{\frac{u}{v}}+1}-u)=0\Leftrightarrow u=v$ (vì $u>1$)

Thế xuống PT (2) giải hệ

Bạn nên giải hết cả bài đi  thế mới hay,không nên giải như thế này vì chưa rõ nhiều bài đoạn xử lí phương trình như thế nào mà.Nhiều bài cho tưởng dễ nhưng không dễ đâu .Mong các bạn lần sau giải nên FULL lời giải + đáp số nhé mới được công nhận

Bài toán 24:  Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(x^2+1)y}+x^2y=(x^2+1)^2 & & \\ \sqrt{y}=\frac{(x^2+1)^3}{6xy^2-32x^3} & & \end{matrix}\right.$

$a-b < c <=> a^2+b^2-2ab < c^2$

$b-c < a <=> b^2+c^2-2bc< a^2$

$a-c< b <=> a^2+c^2-2ac< b^2$

Cộng các vế ta có

$2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)< a^2+b^2+c^2 <=> 2(ab+ac+bc)>a^2+b^2+c^2$ (đpcm)

Lời giải đưa ra sai rồi nhé bạn

Bạn thử xem .$a-b=-5$và $c=3$ chẳng hạn

rõ ràng $a-b< c$ nhưng khi bình phương vế trái lớn hơn vế phải

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:

$2(ab+bc+ca)>a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác có $a+b> c$

                                                      $<=>ac+bc> c^2$(vì$c>0$)

                                       Tương tự có:$ab+bc>b^2,ac+ab>a^2$

Cộng các bất đẳng thức trên ra điều phải chứng minh

Bài 10:(Đề thi trại hè hùng vương 2014)

Chứng minh rằng:tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số có thể biểu diễn dưới dạng $\left | 7x^2+9xy-5y^2 \right |$($a,b\in R$)

Mọi người xem tại đây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

 

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng là số hữu tỉ.

(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:  là số hữu tỉ.

 

a,Từ giả thiết có:$c(a+b)=ab$.Thay vào biểu thức $A$ có:$=\sqrt{(a+b)^2-2ab+c^2}=\sqrt{(a+b)^2-2c(a+b)+c^2}=\sqrt{(a+b-c)^2}=\left | a+b-c \right |$ là số hữu tỉ

b,Xét:$(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x})^2=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}+\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(z-x)(x-y)}=B^2+\frac{2(x-y)+2(y-z)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=B^2=>B=\left | \frac{1}{x-y} +\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}\right |$ là số hữu tỉ

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

Câu 1(2điểm):Gỉa sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Xác định $a,b,c$ để biểu thức sau có giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất :$P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

Câu 3(2 điểm):a,Cho 6 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{6}\in \left [ 0;1 \right ]$.Tìm max:$(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})....(x_{6}-x_{1})$

b.Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:$\left\{\begin{matrix}2^x=2y & & \\ 2^y=2x & & \end{matrix}\right.$

Câu 4(3 điểm):Cho đường tròn $(O;r)$.Xét hình thang  $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn nói trên,trong đó$BC\parallel AD,\angle BAD=\alpha ,\angle CAD=\beta (\alpha ,\beta \leq 90)$

a,Chứng tỏ rằng $\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}$

b,Tính $S_{ABCD }$ th$r,\alpha ,\beta$ với các góc $\alpha ,\beta$ bằng bao nhiêu thì hình thang có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó theo $r$

Câu 5(1điểm):Trong các số tự nhiên từ $1->1997$ chọn $n(n\geq 2)$ số phân biệt sao cho $2$ số bất kì chọn được tổng chia hết cho $8$.Hỏi trong cách chọn số $n$ như thế thì $n$ lớn nhất là bao nhiêu