Cho tam giác ABC đều cạnh 2, đường cao AH.(O1) đường kính AH và (O2) nội tiếp tam giác ABC. Tính diện tíchtam giác ABC trong (O1) ngoài (O2).

$\widehat{BAC}=30^{\circ}\Rightarrow BC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$

Theo Pytago tính đc $CA=3$ 

$\Delta AKO$ đồng dạng $\Delta ABC$ theo tỉ số $\frac{AO}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AK}{AB}$

giờ thì dễ tính rồi.

à à khoan làm sao chứng minh được tam giác AKO vuông  tại O ?

$\Delta ABK$ cân tại K $\Rightarrow$ KO vừa là trung tuyến vừa là đường cao 

đc chưa?

Tứ giác OECF nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EOF}=180^{\circ}-\widehat{C}=150^{\circ}$

                                    $\Rightarrow$ số đo cung EF nhỏ là $150^{\circ}$

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$; $ab+bc+ca=9$; $a<b<c$. Chứng minh rằng: $0<a<1<b<3<c<4$

Vẽ trên phần mềm  Geometer's Sketchpad

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+5y=6\\ x^2y^2+5y=6 \end{matrix}\right.$

 $\left\{\begin{matrix} x^4+5y=6\\ x^2y^2+5y=6 \end{matrix}\right.$

Trừ theo từng vế $(1)$ cho $(2)$ ta đc:

$x^{2}(x^{2}-y^{2})=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-y)(x+y)=0$

$\Leftrightarrow x^2=0$; $x=y$ hoặc $x=-y$

Xét từng trường hợp để tìm nghiệm.

Xét $x=0$ $\Rightarrow y=\frac{6}{5}$

Xét $x=y$ ta có: $y^4 +5y-6=0$

                          $\Leftrightarrow x=y=1$ hoặc $x=y=-2$

Xét $x=-y$ ta có $-x=y=1$ hoặc $-x=y=-2$

Kết luận:...

trường hợp $x^3+x^2y-5=0$ giải thế nào vậy bạn? Mình bị vướng từ đấy.

$x^3+x^2y-5=0$ $(3)$

Từ hệ $\Rightarrow x,y\leq \frac{6}{5}$ $\Rightarrow x^3+x^2y-5\leq 2(\frac{6}{5})^{3}-5< 0$ 

         $\Rightarrow$ pt $(3)$ vô nghiệm.

Giờ thì xét $x=y$ để tìm nghiệm.

Đặt $AB=c$ ; $AB=b$

Kẻ đường cao $AH$

Xét $\Delta ABH$ vuông có $\widehat{B}=60^{\circ}$ nên $BH=\frac{1}{2}c$ 

$\Rightarrow HC=5-\frac{1}{2}c$

Theo Pytago tính đc $AH=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Tiếp tục áp dụng định lí Pytago cho $\Delta AHC$ có :

$b^2=(\frac{c\sqrt{3}}{2})^2+(5-c)^2=25-10c-\frac{1}{4}c^2$

Mà $b+c=12\Rightarrow b=12-c$

Thay vào ta đc: $(12-c)^2=25-10c+\frac{7}{4}c^2$

Giải pt tìm đc $c$

Áp dụng AM - GM :

$c(6-c)=c(a+b)=ac+bc\geq 9-\frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{36-(6-c)^{2}}{2}$

$\Rightarrow c\leq 4$

Dấu '' = '' ko xảy ra do $a<b \Rightarrow c<4$

Ta có $(b-a)(b-c)<0$

          $\Rightarrow b^2+9<2b(a+c)=2b(6-b)$

hay    $(b-1)(b-3)<0$

hay    $1<b<3$

Cmtt có: $(a-1)(a-3)>0$ và $(c-1)(c-3)>0$

Do $c>b>1$ nên $c>3$

Do $a<b<3$ nên $a<1$

Vậy $0<a<1<b<3<c<4$

Đây là lời giải của mình mong có lời giải khác hay hơn. 

Số đo cung bằng 90 độ $\Rightarrow S_{vp}=\frac{1}{4}S= \frac{7^{2}\Pi}{4}$(đvdt) (với $S$ là diện tích hình tròn bán kính 7)

[diện tích hình viên phân không phải viên phấn nha bạn] 

Gọi số cần tìm là $a$

Theo bài ra ta có: $a+\frac{1}{a}=4,25$

                             $\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{a}=\frac{17}{4}$

                             $\Rightarrow 4a^2+4=17a$

                             $\Leftrightarrow 4a^2-17a+4=0$

Giải pt có $a=4$

$y$ là gì hả bạn ?

$x=\sqrt[3]{3b-1+b\sqrt{8b-3}}$

$y=\sqrt[3]{3b-1-b\sqrt{8b-3}}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a(b+a)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Bạn nhìn lai đề xem hình như chỗ mình bôi đỏ sai đề không theo quy luật của dãy

mình xem lại rồi, đề đúng ko sai nha bạn 

Cái jề thế này.........................................................................

Vote cho Crazy 

Xét $x=0$ ta có $y=1$ hoặc $y=-1$

Ta cần chứng minh các trường hợp còn lại không có nghiệm

Xét $x>0$ có $x^6 + 2x^3 + 1 < x^6 + 3x^3 + 1 < x^6 + 4x^3 + 4$ (do $x>0$ nên $x^3>0$)

               hay $(x^3+1)^2 < y^4 < (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Xét $x<0$ 

                Với $x=-1$ không thoả mãn.

                Với $x\leq -2$ thì $x^6 + 2x^3 + 1 > x^6 + 3x^3 + 1 > x^6 + 4x^3 + 4$

                                     hay $(x^3+1)^2 > y^4 > (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Vậy ..........

Bài này đã có giải ở đây : http://diendantoanho...i2mk2-nhỏ-nhất/

Câu 1 (6,0 điểm):

    b)     Giải phương trình: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{5}{3}(\frac{x}{3}-\frac{1}{x})$

ĐKXĐ: $x\neq 0$

Đặt $\frac{x}{3}-\frac{1}{x}=a$

Phương trình trở thành: $a^2-\frac{5}{3}a+\frac{2}{3}=0$

                                      $\Leftrightarrow a^2-5a+2=0$

Giải PT tìm đc $a\Rightarrow x$

Câu 4 (6,0 điểm):

            Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng

a)     AC.HF = AD.CF

b)     F là trung điểm EH

c)     Hai đường thẳng DC và DI đối xứng với nhau qua đường thẳng DN

a) Ta chứng minh $\Delta ADC$ đồng dạng $\Delta FHC$

$ACBD$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ABD}$

Mà $HFCB$ nội tiếp ($\widehat{BHC}=\widehat{BFC}=90^{\circ}$) 

                           $\Rightarrow \widehat{FCH}=\widehat{HBF}=\widehat{ABD}$

Từ đó có $\widehat{ACD}=\widehat{FCH}$

Cmtt có $\widehat{ADC}=\widehat{FHC}$

$\Rightarrow \Delta ADC$ đồng dạng $\Delta FHC \Rightarrow$ đpcm

Câu b) ý 2 làm sao ?

Là như thế này

$x^{3}=\left ( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right )^{3}$

$=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3.\sqrt[3]{\left ( 9+4\sqrt{5} \right )\left ( 9-4\sqrt{5} \right )}.\left ( \sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}} \right )$

$=18+3x\Rightarrow x^{3}-3x-18=0$

. ko phải . câu 2.b) ý thứ 2 ấy. tính nghiệm dạng thập phân ấy

PT đó chỉ có nghiệm thực duy nhất là $x=3$ thôi bạn

Đây lài một số File dạng PDF, mình sưu tầm được trên diễn đàn chúng ta, MathScope, MathLinks  và các tác giả khác.

 

Tài liệu gồm các định lí, bài tập ( lời giải chi tiết , hướng dẫn , không lời giải ), các đề thi vào lớp $10$  về Hình học phẳng.

 

Rất mong tài liệu này có ích cho mọi người.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hình học phẳng - 9 + ôn 10.rar

HAY.