Con dafuq nào post ảnh mình thế nhỉ ? hâm mộ wa ak
Sao ảnh mình hót thế nhỉ :D

I have no idea.

Câu trước nói không gây war, câu sau chửi ngay được.

Thế này thì chịu rồi

LÀ j ạ

Hai ông con trai ngồi chăm chú vào cái máy tính , thả lỏng người , để tay trước ngực , hồi hộp xem tình tiết
Còn có thể là j nhỉ

Nhìn cũng gay như cái tên í nhể
P//s: Chụp lén mà mắt nhìn vào ống kính rồi cười à :|

Trông mình đẹp trai ngời ngời mà phải chup chung với thằng gay nhỉ? )
p/s Same quan điểm với L

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Mình ham bài dễ quá
Dễ tháy
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right ) =abc +a+b+c+ab+bc+ca +1 \geq 3\sqrt[3]{abc} +3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc+1 =(1+\sqrt[3]{abc})^3$

Bài 489:Chứng minh rằng với các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau ta có bất đẳng thức sau :
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})\geq \frac{27}{4}$
------------------------------------------
P/S:Dạng khá giống với IRAN TST 96.Mọi người cùng làm nhé.

Bài phải là $(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})\geq \frac{27}{6}$ chứ nhỉ ??

Thế thì mình sẽ làm như sau
$\leftrightarrow ((a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2)(\frac{1}{(a-b)^2} +\frac{1}{(b-c)^2} +\frac{1}{(c-a)^2}) \geq 9$
Luôn đúng theo buniacopsky

-Bất đẳng thức đó là j` vậy.
-Bài này làm như sau:
Áp dụng bdt am-gm ta có:
$2ab(a^2+b^2)\leq \frac{(a^2+b^2+2ab)^2}{4}=\frac{(a+b)^4}{4}=4$

Em chứng minh bdt ấy nè :|
$a^2 +b^2 \leq (a+b)^2 $
$\leftrightarrow 0 \leq ab$
Luôn thoả mãn do $a,b$ dương
Dấu $=$ sảy ra$ \leftrightarrow a$ hoặc$ b =0$
Nhưng không áp dụng dc vào bài trên vì a+b =2

Bài 488:Cho các số thực $x,y$ thỏa $x$ khác $y$ khác $0$.Chứng minh:
$$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}$$

Làm bài này :
$Q.E.D \leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^{2}} +(\frac{1}{x} -\frac{1}{y})^2 \geq \frac{2}{xy}$
$\leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^{2}} +(\frac{x-y}{xy})^2 \geq \frac{2}{xy}$
Mà $\frac{1}{(x-y)^{2}} +(\frac{x-y}{xy})^2 \geq 2\sqrt{\frac{1.(x-y)^2}{(x-y)^2 .xy^2}} =\frac{2}{xy}$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$ Dấu $=$ sảy ra $\leftrightarrow (x-y)^2 =xy \leftrightarrow x^2 +y^2 =3xy$ Với x khác y và xy khác o

Bài 494
Bài làm
a, ta có :$ a^2 +b^2 \leq (a+b)^2 =4$
$ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=1$
$\Rightarrow ab(a^2+b^2) \leq 4 $
Vậy$ A_{Max} =4$
Dấu $=$ sảy ra $\leftrightarrow a=b=0$
b,Tương tự câu a
$\Rightarrow B \leq (\frac{(a+b)^2}{4})^2.((a+b)^2) =4$
Vậy$ B_{Max} =4$
Dấu $=$ sảy ra $\leftrightarrow a=b=0$

Ai lam em bai nay:

Cho x+y+z =1
Tìm Min $\frac{x+y}{xyz}$

Chém liền :
$A =\frac{1}{yz} +\frac{1}{xz} \geq \frac{4}{z(x+y)} \geq \frac{4}{\frac{(x+y+z)^2}{4}} =16$
Dấu $= $sảy ra $\leftrightarrow x=y=\frac{1}{4} z= \frac{1}{2}$

Bài 463: Cho tam giác ABC không nhọn và BC=a; AC=b;AB=c.
chứng minh :
a($\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)+b($\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$)+c($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$)$\geq$ 2+$3\sqrt{2}$

Bay đến trang 4 đấy
#-o
http://diendantoanho...c1bgeq-23sqrt2/

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

ta có :
GT $\rightarrow \frac{b}{b+1} +\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq 1-\frac{a}{a+1} =\frac{1}{a+1}$
Áp dụng BDT cosy $\rightarrow \frac{1}{a+1} \geq \frac{b}{b+1} +\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$
tương tự rồi nhân lại với nhau$\rightarrow 1 \geq 81abcd \rightarrow DPCM$

Bài 445:
Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab + bc+ca}>=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$
P/s: em mới biết mỗi cách biến đổi tương đương trâu bò. Ai có cách khác hay hơn thì up

Đặt P là $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
$P \leq \frac{1}{2} +\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
$\leftrightarrow (ab+bc+ca)P \leq \frac{ab+bc+ca}{2} +a^2 +b^2 +c^2$
$\leftrightarrow abc(\frac{1}{a+b} +\frac{1}{a+c} +\frac{1}{b+c}) \leq \frac{ab+ca+ca}{2}$
Mà $ (\frac{4}{a+b} +\frac{4}{a+c} +\frac{4}{b+c}) \leq (\frac{1}{a} +\frac{1}{b})+(\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) +(\frac{1}{c} +\frac{1}{a}) =2(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})$
$\rightarrow (\frac{2}{a+b} +\frac{2}{a+c} +\frac{2}{b+c}) \leq \frac{ab+bc+ca}{abc}$

Bài 133: Cho $\triangle ABC$ có $\angle B=45^o$. Kẻ đường cao $AH$ và phân giác $BD$. Chứng minh $HD // AB$ biết rằng $\angle ADB=45^o$.

CHém nhanh nào
Từ D kẻ $DJ \perp AC$
Dễ thấy $\angle ADB =\angle BDJ =45^o$
$\rightarrow \Delta ABD = \Delta JBD:(\text{g-c-g})$
$\rightarrow AD =DJ$
$\rightarrow \Delta ADJ :\text{vuông cân}$
Mà dễ dàng CM$ ADJH :\text{tứ giác nội tiếp}$
$\rightarrow \angle AHD =45^o (1)$
Mà$ \Delta ABH$ có$ \angle AHB =90^o$ và$ \angle ABH =45^o$
$\rightarrow \Delta ABH :\text{vuông cân}$
$\rightarrow \angle BAH =45^o(2)$
từ$ (1)$ và$ (2) \rightarrow DPCM$

Topic im nhỉ, hâm nóng lại nào, xin giới thiệu, hình nhỏ bạn mình (gọi bạn cho thân chứ nó sinh năm 1996)

Bài 27: Cho đoạn thẳng MN = 4 cm, điểm O nằm giữa M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45độ. Tìm vị trí của O để AB có độ dài nhỏ nhát. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

P/s: Dạo này các pan ít poss bài quá nhj?

Chém nào
Bài làm:
Dễ thấy$ AB^2 =AO^2 +OB^2 :\text{(py-ta-go)}$
$\rightarrow AB^2 =MO^2 +NO^2 :\text{tam giác cân}$
$\rightarrow 2AB^2 =(1+1)(MO^2 +NO^2) \geq (MO+NO)^2$
$\rightarrow AB^2 \geq \frac{MN^2}{2}$
$\rightarrow AB \geq \frac{MN}{\sqrt{2}}:\text{const}$
Vậy $AB_{Min} =\frac{MN}{\sqrt{2}}$
Dấu "$=$" sảy ra $\leftrightarrow MO =NO$
$\leftrightarrow O :\text{trung điểm MN}$

b) Cho tứ giác ABCD $\angle A=\angle C=90^{o}$
Kẻ $DE\perp AC$, $BF\perp AC$ Chứng minh: AF=CE

Bài làm
Dễ thấy $\Delta ADE$ ~ $\Delta BAF$ và $\Delta CED$ ~ $\Delta BFC$
$\Rightarrow AE .AF =DE .BF =EC.CF$
$\Rightarrow \frac{AE}{CF}=\frac{EC}{AF}$
Dễ thấy Nếu $CF =AF$ thì $AF=CE$
Nếu$ CF \neq AF$ thì $\frac{AE}{CF}=\frac{EC}{AF} =\frac{AC}{AC}=1 \Rightarrow DPCM$

Bài này dễ:
Cho xy cắt AB ở K,AC ở H.
Ta có :
$\frac{BB'}{AA'}=\frac{BK}{AK},\frac{CC'}{AA'}=\frac{CH}{AH}\Rightarrow \frac{BB'+CC'}{AA'}=\frac{BK}{AK}+\frac{CH}{AH}=\frac{AB}{AK}-1+\frac{CH}{AH}-1=\frac{AB}{AK}+\frac{CH}{AH}-2$
Từ B,C vẽ BJ,CI // xy (I,J thuộc AG) .Cho BC cắt AG tại M => MB=MC
=> MI=MJ
Vậy ta có $\frac{BB'+CC'}{AA'}=\frac{AB}{AK}+\frac{CH}{AH}-2=\frac{AJ+AI}{AG}-2=\frac{2AI+IJ}{AG}-2=\frac{2AI+2IM}{AG}-2=\frac{2AM}{\frac{2}{3}AM}-2=3-2=1\Rightarrow AA'=BB'+CC'(Q.E.D)$
Đây là hình vẽ

sao anh chém tởm vậy
Cách khác:
kẻ $ MI \perp B'C'$
$\rightarrow MI =\frac{BB' +CC"}{2}$
Dễ thấy$ \Delta AA'G$ ~ $\Delta MIG$
$\rightarrow \frac{AA'}{MI} =2$
$\rightarrow AA' =BB' +CC'$
_________________
@Mod: học đâu cái kiểu chửi cách làm người ta rồi khi bị phản bác lại đổi đen thành trắng thế ?
Chú ý cách ăn nói
Cảnh cáo lần 1 /!\

Bài 25: Cho $\triangle ABC$, $BC=2AB$, $MB = MC$, $DM = BM$ ($M,D$ \in BC$)
CMR: $AC = 2AD$.

Nói chung là M là TĐ BC và D là trung điểm BM
Bài làm:
Theo tính chất đường trung tuyến cho $\Delta ABM$ và $\Delta ABC$
$\rightarrow AD^2 =\frac{2(AB^2 +AM^2)-BM^2}{4} =\frac{2AM^2+AB^2}{4}$
$\rightarrow AM^2 =\frac{2(AB^2 +AC^2) -BC^2}{4} =\frac{AC^2 -AB^2}{2}$
$\rightarrow AD^2 =\frac{AB^2 +AC^2 -AB^2}{4} =\frac{AC^2}{4}$
$\rightarrow AD =\frac{AC}{2}$

Bài 15
Lời giải
Xét $\Delta AGF$và $\Delta ACE $có
$\frac{CE}{GF} =\sqrt{2} =\frac{AC}{AG}$
và $\angle ACE =\angle AGE =90^o +45^o =135^o$
$\rightarrow \Delta AGF$ ~ $\Delta ACE $
$\rightarrow \angle AFG =\angle CEA$
$\rightarrow DPCM$
(p/s , mọi người chê bài dễ ak =))

Bài 17: (Lớp 8)
Cho hình thang ABCD ( AB//CD); AC vuông góc BD. Qua trung điểm I của BC kẻ đường song song với AD cắt DC tại M. Chứng minh:
tam giác BMD cân

Mở rộng bài 17 cho anh em :
Cho hình thang ABCD ( AB//CD); AC vuông góc BD. Qua trung điểm I của BC kẻ đường song song với AD cắt DC tại M
DA$ \cap CB$ ={H}
BD $\cap AC$ ={O}
BM$\cap AC$={J}
M dx G qua I
a, CM HO //BM
b, CM KJ //MI
(p/s cái này cũng có thể làm và học như bổ đề )

Bài 20: Cho $\Delta ABC$( AB<AC), phân giác AD, Từ D vẽ đường vuông góc BC cắt AC tại M. Tính $\angle MBD$

Bạn xem lại đề đi, thiếu điều kiện rồi

Bài 17:(cách của anh L)
Lấy $MI \cap AB =N$
vẽ $BL \perp DB ,L \in DC$
Dễ dàng cm:$ ANMD :\text{hình bình hành}$
Sau đó cm:$BNCM :\text{hình bình hành}$
TIếp đó cm:$ABLC :\text{Hình bình hành}$
$\rightarrow$ $DM =AN=BN+AB=MB+CL=ML$
Mà $\Delta DBL$ vuông tại B với MD=ML
$\rightarrow BM=ML=DM$
$\rightarrow DPCM$

Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B cố định((O) và (O') ở ngoài nhau).P là 1 điểm di động trên cung lớn AB trên (O).PA,PB cắt (O') lần lượt tại C,D sao cho C,D thuộc cung lớn AB của (O').Từ O' vẽ O'E vuông góc CD tại E.
CMR: PE luôn đi qua 1 điểm cố định khi P di động trên cung lớn AB.
P/s:Đề cực ngắn nhưng chứng minh không ngắn như cái đề ,có thể là dài hơn bài 83 đã khiến em Black "nổ não" và lần này sẽ "nổ" lần 2

Sao em thấy chẳng nổ j cả thế này :|
Bài làm:
Gọi $ OO' \cap PE =I$
$PO \cap (O) =J$

1, Ta sẽ chứng minh $E \in \text{Đường tròn cố định}$
Dễ thấy $\angle CBD =\angle PCB +\angle CPB$
Ta có: $\angle PCB =sđ(AB) :\text{của (O')}$
Và$ \angle CPB =sđ(AB) :\text{của (O)}$
Mà Dây $AB ,(O),(O') :\text{const}$
$\rightarrow \angle CBD :\text{const}$
$\rightarrow CD :\text{const}$
$\rightarrow O'E :\text{const}$
$\rightarrow \text{đường tròn (O';O'E) :cố định}$
3, Ta sẽ chứng minh $PO //O'E$
$Q.E.D \text{phần này} \leftrightarrow PO \perp CD$
Thật vậy :
Ta có:
Dễ thấy $ ABDC :\text{tứ giác nội tiếp}$
$\rightarrow \angle CDB +\angle CAB=180^o$
Mà $\angle CAB +\angle PAB =180^o$
$\rightarrow \angle PAB =\angle CDB$
Dễ thấy :$ AJBP :\text{tứ giác nội tiếp}$
$\rightarrow \angle PAB =\angle PJB$
Mà$ \angle JPB +\angle PJB =90^o$
$\rightarrow \angle JPB +\angle PAB =90^o$
$\rightarrow \angle JPB +\angle CDB =90^o$
$\rightarrow PO \perp CD$
Vậy $PO //O'E$
3,Ta sẽ chứng minh$ I :\text{const}$
Vì $PO //O'E$ $\rightarrow \angle OPI =\angle IEO'$
Xét$ \Delta POI$ và $\Delta EO'I$ có:
$ \angle OPI =\angle IEO'$
$\angle OIP =\angle EIO' :\text{(đối đỉnh)}$
$\rightarrow$ $ \Delta POI$ ~ $\Delta EO'I$ (g-g)
$\rightarrow \frac{OI}{O'I} =\frac{PO}{O'E}$
Mà $\frac{PO}{O'E} :\text{const}$
$\rightarrow \frac{OI}{O'I} :\text{const}$
$\rightarrow \frac{OI}{OO'} :\text{const}$
$\rightarrow OI :\text{const} :\text{OO' :const}$
$\rightarrow I :\text{const}$

Sao ở cái dòng góc CBD cố định rồi CD cố định ở mấy dòng đầu là sai rồi đó em với lại điểm cố đinh5 em tìm được cũng khác đáp án.Em xem lại nhé .Có thể em không nổ não khi em làm "sai" nhưng em sẽ nổ não khi làm "đúng" đấy

Em không biết có sai hay không nên cứ chém đại :
CM rõ hơn về độ dài CD cố định:
Dễ thấy : $A ,B ,O :\text{const}$
$\rightarrow AO :\text{const}$
$\rightarrow (O) :\text{const}$
Chứng minh tương tự $\rightarrow (O') :\text{const}$
Vậy$ (O)$ và $(O') :\text{const}$
$\rightarrow SĐ(AB)$ của$ (O) $và $(O') :\text{const}$
Rồi CM như trên
---------------------------------------
P/s : Em không biết C , D khác A,B hay không ,nếu có thể trùng với A,B công nhận là em thiếu 1 nghiệm hình , thiếu hẳn 1 điểm cố dịnh và em đã tìm ra , em sẽ làm thêm nhanh nhất có thể