Tìm $f(x)$ xác định trên $D=R$ \ $(\pm\frac{1}{2})$ thoả $f(x-1)-3f(\frac{x-1}{1-2x})=1-2x$ với mọi $x\in D$

1/Cho đa thức $P_0(x)=x^3+22x^2-6x+15$.Với $n\in \mathbb{Z^+}$, ta đặt

            $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$

Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

 

2/Cho $a,b,c,m,n,p$ là các số nguyên dương.Đặt $A=a+b+c+m+n+p,B=ab+bc+ca-mn-np-pm$ và $C=abc+mnp$.Biết $B,C$ đều chia hết cho $A$.Chứng minh $A$ là hợp số

Cho $m,n,u,v\in \mathbb{Z^+}$ thoả $u+v=20$ và $m+n=10$ .Tìm Max,Min:
$f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$

Cho $n\in \mathbb{Z^+}$ và kí hiệu $U(n)=\left \{ d_1,d_2,d_3,...,d_m \right \}$ là ước nguyên dương của $n$.Chứng minh:

$d_1^2+d_2^2+d_3^2+...+d_m^2\leq n^2\sqrt{n}$

Cho $a,b,c$ thỏa $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

    $\left [ m(a+b-c)-ab \right ]\left [ m(b+c-a)-bc \right ]\left [ m(c+a-b)-ca \right ]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

 

Cho $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$.Chứng minh:

  $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\geq \frac{2n+1}{3}(a_1+a_2+...+a_n)$

Chứng minh $\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+\frac{x^2}{2!}+x+1=0$ không có nghiệm hữu tỉ với $n\geq 2$

Cho ba số $a,b,c$ thỏa: $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh:

$[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

Cho dãy số $a_1=1,a_2=1$ và $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ với $n\geq 3$.Chứng minh rằng nếu $n\vdots 8$ thì $a_n\vdots 8$

Hình như đề bài có vấn đề,thử $n=8$ ta có $a_{8}=(a_{7}+a_{6})=[(a_{6}+a_{5})+(a_{5}+a_{4})]=[(2a_{5}+a_{4})+(2a_{4}+a_{3})]=[(3a_{4}+2a_{3})+(3a_{3}+2a_{2})]=(5a_{3}+3a_{2})+(3a_{3}+2a_{2})=8(a_{2}+a_{1})+5=8.2+5=21$ không chia hết cho $8$ 

MÌnh nhầm, $a_n\vdots 7$

Cho $x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{Z^+}$ thoả mãn $x_1+x_2+...+x_n=k$ $(k\in \mathbb{N}$ $( k\geqslant n)$.Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=x_1x_2....x_n$

Tìm GTNN của $M=\frac{a}{1+-a+b}+\frac{b}{1-b+c}+\frac{c}{1-c+a}$  với a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

$M=\sum \frac{a}{2b+c}=\sum \frac{a^2}{2ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$ (theo bđt C-S)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Tìm Max của $A=k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+...+k_{n-1}k_{n}$ biết $\sum_{i=1}^{n}k_{n}=1$ và $n\geq 2$

1/Giả sử $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $\in [0;1]$.Tìm $GTLN,GTNN$ của biểu thức

                         $P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$

 

2/Giả sử $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ có các nghiệm $x_1,x_2$.Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n$.

Chứng minh rằng: $aS_n+bS_{n-1}+cS_{n-2}=0$

 

3/Giả sử $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $\in[0;2]$.Tìm $GTLN$ của biểu thức:

                   $Q=\frac{8a^2-6ab+b^2}{4a^2-2ab+ac}$

Tìm Max,Min của biểu thức $f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$ ($m,n,u,v$ nguyên dương và $u+v=20,m+n=10$)

Chứng minh:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n-1}}$

Tìm max: $\frac{1}{3x-2\sqrt{15x}+7}$

Đặt $P=\frac{1}{3x-2\sqrt{15x}+7}$
$PT<=>3Px-2P\sqrt{15x}+7P-1=0$
Để phương trình có nghiệm$<=>\Delta=60P^2-12P(7P-1)\geqslant 0$
$<=>24P^2\leqslant 12P<=>P\leqslant \frac{1}{2}$

Cho $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$.Chứng minh rằng:

   $\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\leqslant \sqrt{n}$

Chứng minh $[(2+\sqrt{3})^k]$ là số lẻ với $k\in N$\

Cho $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=a+1\\ x^2+y^2=5-2a-a^2\end{matrix}\right.$.Tìm $GTNN$ của biểu thức: $F=xy+2(x+y)$

1/Giải hệ phương trình:

                   $\left\{\begin{matrix}2^{3x}=5y^2-4y\\ \frac{4^x+2^{2x+1}}{2^x+2}=y\end{matrix}\right.$

 

2/Giải hệ phương trình:

                   $\left\{\begin{matrix}3xy(x+y)=4+x^2+y^2\\ 9x^3y^3-3xy(x^3+y^3)+x^2y^2=4\end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $abc=-1$ Tìm MIN$ P= (|ab|+|bc|+|ca|)(15\sqrt{a^2+b^2+c^2}-7(a+b+c))$

$\Leftrightarrow P\geq (|ab|+bc|+|ca|)(15-7\sqrt{3})\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq 3\sqrt{3}(15-7\sqrt{3})=-63+45\sqrt{3}$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=-1$

Bài toán vui

Khi ba con vật gặp nhau, con ong bay được:

$S=v.t_{AB}=\frac{v.S}{v_A+v_B}=1435,46m$

Chỗ gặp nhau cách A:

$S'=v_A.t{AB}=558,36m$

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\geq 2(\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}+1)$

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n\in N^*$.Chứng minh rằng $p^n\neq a^3+b^3$ $(a,b\in N)$