1) Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc ; a, b, c \neq 0$
Tính $P = (1 + \dfrac{a}{b})(1 + \dfrac{b}{c})(1 + \dfrac{c}{a})$

2) Phân tích thành nhân tử:
a. $x^{3} - 5x^{2} + 8x - 4$
b. $x^{2}(y - z) + y^{2}(z - x) + z^{2}(x - y)$
c. $(2x^{2} + 3x - 1)^{2} - 5(2x^{2} + 3x + 3) + 24$
d. $(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) - 4x^{2}$
e. $6x^{4} + 5x^{3} - 38x^{2} + 5x + 6$

3) CMR: $C \geq 0 \forall x$
$C = \dfrac{x^{4} + x^{3} + x + 1}{x^{4} - x^{3} + 2x^{2} - x + 1}$

Sửa đề lại nhìn cho rõ thôi, phần giải xin dành cho các bạn cấp 2, cũng không phức tạp lắm...

anh ơi em đã đọc qua về pt Pell nhưng trong sách chỉ viết về cách tìm nghiệm chứ ko cm đó là tập nghiệm của pt . anh giải thích cho em đc ko thanks nhiều

Ý em là sao, mình chỉ áp dụng dạng của pt Pell để giải các pt nghiệm nguyên thôi mà, điều này thì đúng vì từ dạng đó mình suy ra được các dãy và bộ nghiệm của nó.

Ví dụ, (công thức nghiệm):
Giả sử $(a, b)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của pt Pell loại 1: $x^{2} - dy^{2} = 1 , d \in N^{*}$
Xét hai dãy ${x_n} , {y_n}$ cho bởi hệ thức truy h?#8220;i:
$x_o = 1, x_1 = a, x_{n + 2} = 2ax_{n + 1} - x_n$
$y_0 = 0, y_1 = b, y_{n + 2} = 2ay_{n + 2} - y_n$
thì $(x_n; y_n)$ là tất cả các nghiệm nguyên dương của pt, $\forall n \in N{*}$.

Em có thể xem thêm về pt Pell ở đây: http://diendantoanho...?showtopic=5752

anh pirates biết nhiều dấu hiệu thế

Đó là những bài anh đã gặp qua thôi.

Mấy cái áp dụng chia hết hay ở trong những bài toán nào vậy mọi người nhỉ, thử đưa ra vài bài mình cùng giải nào
(trừ mấy bài trên kia)

Chia hết đã là một dạng của Toán rồi đó em.

Thêm một vài cái nữa để mọi người luyện cm:

$n^{3} + 11n \vdots 6$

$mn(m^{2} - n^{2}) \vdots 3$

$n(n + 1)(2n + 1) \vdots 6$

$a^{2} - b^{2} \vdots 24$ với $a, b$ lẻ và không chia hết cho $3$.

$p^{2} - 1 \vdots 24$ với $p > 3$ và là số nguyên tố.

$n^[2}(n^{2} - 1) \vdots 12$

$n^{2}(n^{4} - 1) \vdots 60$

$mn(m^{4} - n^{4}) \vdots 30$

$n^{5} - n \vdots 30$

$2n(16 - n^{4}) \vdots 30$

$n^{4} + 6n^{3} + 11n^{2} + 6n \vdots 24 \forall n \in N$

$n^{4} - 4n^{3} - 4n^{2} + 16n \vdots 384$ với $n > 4$, chẵn.

Cardarno là gì vậy anh

Là công thức nghiệm của pt bậc ba em à, em vô đây xem thêm cũng được nè: http://vi.wikipedia....

Cho $a_1, ..., a_n$ là 100 số tự nhiên tùy ý thỏa mãn:
$\dfrac{1}{\sqrt{a_1}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{a_n}} = 19$
Cmr có ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số đã cho.

Người ta có bổ đề như thế này:
Với $ p \in P$ và $a_1;a_2;..;a_n$ là các số tự nhiên thì
$(a_1+a_2+...+a_n)^p \equiv a_1^p+a_2^p+...+a_n^p $ (mod p)

Cm cho bổ đề này:
- Với $n = 1$: hiển nhiên.
- Với $n = 2$:
Ta có: $(a_1 + a_2)^{p} = a_1^{p} + C_p^{p}a_1^{p - 1}a_2 + ... + C_p^{p - 1}a_1a_2^{p - 1} + a_2^{p} \equiv a_1^{p} + a_2^{p} (mod p)$
vì $C_p^{a} \vdots p$ với $a = 1, 2, ..., p - 1$

Giả sử ta có: $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^{p} \equiv a_1^{p} + a_2^{p} + ... + a_n^{p} (mod p)$

Khi đó: $(a_1 + a_2 + ... + a_{n + 1})^{p} = [(a_1 + a_2 + ... + a_n) + a_{n + 1}]^{p} \equiv (a_1 + a_2 + ... + a_n)^{p} + a_{n + 1}^{p} (mod p) \equiv a_1^{p} + a_2^{p} + ... + a_{n + 1}^{p} (mod p)$

$\Rightarrow$ đpcm.

3)Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương khác nhau sao cho tích của chúng bằng tống của chúng??

Mấy bài này đều không khó, để anh giải bài Số:

Vai trò của $x, y, z$như nhau nên giả sử $1 \leq x \leq y \leq z$
Ta có: $x + y + z = xyz$ (1)
$\Rightarrow 1 = \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx} \leq \dfrac{3}{x^{2}} \Rightarrow x^{2} \leq 3 \Rightarrow x = 1$
Thay $x = 1$ vào (1) ta được: $1 + y + z = yz$
$\Rightarrow (y - 1)(z - 1) = 2 \Rightarrow y = 2 , z = 3$

Mấy bài này khó đối với cấp II, đặc biệt bài 5 là một bài nổi tiếng của anh Cẩn vì tính "nghệ thuật" của nó...

Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ dương,c/m:
$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \dfrac{1}{abc}$

Ta có: $\dfrac{abc}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \dfrac{abc}{ab(a + b) + abc} = \dfrac{c}{a + b + c}$

$\Rightarrow \dfrac{abc}{a^{3} + b^{3} + abc} + \dfrac{abc}{b^{3} + c^{3} + abc} + \dfrac{abc}{c^{3} + a^{3} + abc} \leq 1$

$\Rightarrow$ đpcm

Xin lỗi tất cả các bạn .Mấy ngày nay nhà mình mất mạng nên k0 online và chấm bài được. Mong các bạn thông cảm và mathlovely chuyển người chấm bài giúp tớ.Mình sẽ post các bài thi đã gửi cho mình lên. Mong anh pirates,chị Janie và quốc cường chấm giúp mình.
Hôm nay mình lên quán net viết vài dòng cáo lỗi cùng các bạn.
Có lẽ vài ngày nữa mình mới online được. Thành thật xin lỗi tất cả các bạn , mong các bạn thông cảm cho mình.

Có 2 bạn gửi bài giải à, chắc Cường chấm cũng nhanh thôi. Anh thì nếu nhiều thì sẽ chấm phụ các em. Nếu có cần đề bài thì nói anh, anh sẽ gửi cho vài bài hay, thế nhé...D

1.CMR không có các số tự nhiên a nào thỏa mãn $a^2+a= 2010^{2009}$
2.CMR không có các số tự nhiên a nào thỏa mãn $a^3+a^2+a=2009^{2010}$
3.Giải bất phương trình $2x+1 \leq \sqrt{8x+9} $

Bài 3 đề thi chuyên PTNK năm nay, cũng đơn giản thôi, các em làm đi nào.

1)Cho: $ \dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{b+a}=1$
Tính giá trị của biểu thức:
$A= \dfrac{a^2}{b+c}+ \dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{c^2}{a+b} $

$(\dfrac{a^{2}}{b + c} + a) + (\dfrac{b^{2}}{a + c} + b}) + (\dfrac{c^{2}}{a + b} + c})$
$= \dfrac{a(a + b + c)}{b + c} + \dfrac{b(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{c(a + b + c)}{a + b}$
$= (a + b + c)(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b})$
$= a + b + c$
$\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b + c} + \dfrac{b^{2}}{a + c} + \dfrac{c^{2}}{a + b} = 0$

2)Cho 3 số a,b,c đôi một khác nhau;abc$ \neq 0$ và $ \dfrac{a}{b-c}+ \dfrac{b}{c-a} + \dfrac{c}{a-b}$= ?
Tính giá trị biểu thức:
$B= \dfrac{a}{(b-c)^2}+ \dfrac{b}{(c-a)^2}+ \dfrac{c}{(a-b)^2}$

1. Cho: $D= \dfrac{(\dfrac{(x - 1)^{2}}{3x + (x - 1)^{2}} - \dfrac{1 - 2x^{2} + 4x}{x^{3} - 1} + \dfrac{1}{x - 1})}{\dfrac{x^{2} + x}{x^{3} + x}}$
Rút gọn và tìm $x$ để $D > 0$
2. Tìm GTLN: $Q = \dfrac{3x^{2} + 9x + 17}{3x^{2} + 9x + 7}$

Sửa lại cho đỡ rối...

Xin lỗi nhen. Bạn muốn người khác giúp thì nên đánh lại cái đề. Tôi đọc rất khó hiểu yêu cầu chứng minh của bài toán. Nếu ai dịch được thì post lên dùm nhen. Thanks.

Đề chắc là như này...

Bài 1: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c + \sqrt{2abc} \geq 10$
CMR : $S = \sqrt{\dfrac{8}{a^{2}} + \dfrac{9b^{2}}{2} + \dfrac{c^{2}a^{2}}{4}} + \sqrt{\dfrac{8}{b^{2}} + \dfrac{9c^{2}}{2} + \dfrac{a^{2}b^{2}}{4}} + \sqrt{\dfrac{8}{c^{2}} + \dfrac{9a^{2}}{2} + \dfrac{b^{2}c^{2}}{4}} \geq 6\sqrt{6}$.

Bài 2: Cho $a,b,c > 0$.
CMR: $S = \sqrt[3]{a^{2} + \dfrac{1}{b^{2}}} + \sqrt[3]{b^{2} + \dfrac{1}{c^{2}}} + \sqrt[3]{c^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{17}{4}}$
__________________

phân tích thành nhân tử zum` em đi mấy anh oy
$x^{10} + x^{5} +1$

$x^{10} + x^{5} + 1 = (x^{10} + x^{9} + x^{8}) + (x^{7} + x^{6} + x^{5}) + (x^{5} + x^{4} + x^{3}) + (x^{2} + x + 1) - (x^{9} + x^{8} + x^{7}) - (x^{6} + x^{5} + x^{4}) - (x^{3} + x^{2} + a)$
$= x^{8}(x^{2} + x + 1) + x^{5}(x^{2} + x + 1) + x^{3}(x^{2} + x +1) + (x^{2} + x +1) - x^{7}(x^{2} + x + 1) - x^{4}(x^{2} + x + 1) - x(x^{2} + x + 1)$
$= (x^{2} + x + 1)(x^{8} - x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{3} - x +1)$

do thi. cua ham so y=ax^2 luon la` 1 duong parabol dung ko anh

Uh đúng rồi, đồ thị của hàm số $y = ax^{2}$ (a khác 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

$a,b,c \in [1;2] \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{a}{c} \leq 2 \Rightarrow (\dfrac{a}{c} - \dfrac{1}{2})(\dfrac{a}{c} - 2) \leq 0 \Leftrightarrow (\dfrac{a}{c})^{2} - \dfrac{5}{2}.\dfrac{a}{c} + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \leq \dfrac{5}{2}$ (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq a \leq b \leq c \leq 2 \Rightarrow (1 - \dfrac{a}{b})(1 - \dfrac{b}{c}) + (1 - \dfrac{b}{a})(1 - \dfrac{c}{a}) \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \leq 2 + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}$ (2)

Ta có: $(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + (\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}) + (\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}) \leq 3 + (2 + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}) + (\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a})$ (3)

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow (a+b+c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \leq 3 + 2 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 10$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a =1, b=c=2$

Thêm vài câu nữa nè:

1. Các số thực dương x,y,z thỏa mãn $xyz + xyt + xzt + yzt \geq 9$. Tìm min $Q = x^{6} + \dfrac{10}{9}x^{3} + \dfrac{28}{9}y^{3} + \dfrac{28}{9}z^{3} + t^{3}$

2. Cho biểu thức $Q(x,y) = \dfrac{x^{2}+xy+x-y+1}{x-1}$ với $-1 \leq x \leq 0 , y \in R$
Tồn tại hay không một số thực k thỏa mãn max $|Q(x,y)| \geq k$

vậy ai cho em công thức của AM-GM và cách sử dụng nó đi, cho em link cũng được

AM-GM là bất đẳng thức Cauchy mà, cái này ai học Toán mà không biết chứ, em xem mấy sách về BĐT chắc chắn sẽ gặp thôi.

$ 3)\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^{2}} $

Xử nốt bài này vậy:
Thấy rằng $x = 0$ là 1 nghiệm của pt.
- Với $x \geq 1$, chia 2 vế cho $\sqrt{x}$ rồi bình phương 2 vế: $\Leftrightarrow 2\sqrt{(x - 1)(x + 2)} = 2x - 1 \Leftrightarrow 4(x^{2} + x - 2) = 4x^{2} - 4x + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{8}$
- Với $x \leq -2$ đặt $x = -t$, $t \geq 2$: $\Leftrightarrow \sqrt{t(t + 1)} + \sqrt{t(2 - t)} = 2\sqrt{t^{2}}$, chia 2 vế cho $\sqrt{t}$ rồi bình phương: $\Leftrightarrow 3 + 2\sqrt{(t + 1)(2 - t)} = 4t$. Dùng Cauchy: $4t \leq 3 + (t +1) + (2 - t) \Leftrightarrow t \leq \dfrac{3}{2}$, pt vô nghiệm.
Vậy $x = 0 , x = \dfrac{9}{8}$

mà tốt nhất mấy điều hiển nhiên thì đừng chứng minh

Nếu thế thì tại sao lại có người đưa ra những điều hiển nhiên để chứng minh, thế mới là vấn đề.
Thôi cái này bàn nhiều ở topic kia rồi, dừng lại thôi.

Đây, topic này có bàn về vấn đề "1 + 1 = 2", mình có post một cách chứng minh do thầy mình chỉ trong đó: http://diendantoanho...showtopic=46595

Hình thì post ở box Hình học, post ở đây làm chi.

cum on nhiu` nhung mạ anh giai~ dum` em lun dc ko

Đơn giản thôi bạn à:
$A = (2005 - 1)(2005^{20} + 2005^{19} + ... + 2005^{2} + 2005 + 1) + 1$
$= 2005^{21} + 2005^{20} + ... + 2005^{3} + 2005^{2} + 2005 - 2005^{20} - ... - 2005^{2} - 2005 - 1 + 1$
$= 2005^{21}$

Bài 2 hay đó chứ, bài này cứ tách ghép lập thành bình phương, đúng là thích hợp cho lớp 8 luyện đấy, mình làm ra được 2 cái:
$(2x+3y)^{2} + (2x+3y-4z)^{2} + (x+6y)^{2} + 10x^{2} + 5 \geq 5$
hoặc
$8(x-z)^{2} + 9(x+2y)^{2} + 2(2x-3y)^{2} + 2x^{2} + 5 \geq 5$