Theo mình nghĩ thì bài này phải là tìm GTLN của $P$

ĐKXĐ:$a\geq 0;b\geq 0;c\geq 0$

Theo bài ra ta có:

$3a+(a+b)+2(a+b+c)\leq 3+5+2.14<=>6a+3b+2c\leq 36$

Mặt khác dụng bđt C-S:$(6a+3b+2c)(1+2+3)\geq 6(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$

$=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq 36$

$=>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 6$

Dấu $"="$ xảy ra $<=>$ $a=1$;$b=2$;$c=3$

xem lại 1 chút nha b

 $a=1$;$b=2$;$c=3$ thì k thể =6 đc :v

Sử dụng AM-GM : 

 

(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Cách khác nếu b cần

Ta có :

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^{2} <=> (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}$

 

 

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

Nhần vế theo vế ta được :

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (a+b+c)^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2} <=>(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (a+b+c)^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

=> Đpcm 

$\frac{x^{2}}{x-1}+4(x-1)\geq4x; \frac{y^{2}}{y-2}+4(y-2)\geq 4y; \frac{z^{2}}{z-3}+4(z-3)\geq 4z\Rightarrow VT\geq 4x+4y+4z-4x-4y-4z+4+8+12= 24$
min P=24 <=> x=2; y=4; z=6

tại sao lại chọn 4(y-2) chứ k phải là các số khác . Tại sao lại là 4 . B guíup m tý đc k

Cho x>1;y>2;z>3 . Tìm min của : P = $\frac{x^{2}}{x-1} + \frac{y^{2}}{y-2} + \frac{z^{2}}{z-3}$

Dấu = xảy ra khi nào ?

Câu 1: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{\sqrt{xy}}$. Tìm Min 

câu 2: $a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\geq 0$ với a,b,c là các số thực

câu 3:Cho $a\geq 0 , b\geq 0,c\geq 0$. Chứng minh : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

câu 4 cho số a,b,c dương. Chứng minh :  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Chém tạm câu 4 vậy   

Đặt : $a=\frac{kx}{y} ; b= \frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

Bđt cần cm tương đương : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} \geq \frac{3}{k(k+1)}$

Ta có : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} = \sum \frac{(yz)^{2}}{k^{2}xzy^{2}+kxyz^{2}}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(\sum x+\sum kx)}\geq \sum \frac{3xyz(\sum x)}{kxyz(1+k)(\sum x)}= \frac{3}{k(k+1)}$ (Q.E.D)

 

Câu 3 bđt ngược dấu nếu thử với (a;b;c)=(0;1;1)

Bạn dùng khai triển Abel để phân tích rồi sử dụng giả thiết, ta tìm đuợc Min của biểu thức bằng 48.

max = 48 nha

a, b càng nhỏ thì biểu thức chạy về 0 nhưng ko đạt cực trị tại 0 => ko có min

Nếu mà tìm max thì dồn biến về b là xong

chung minh voi x,y,z la cac so thuc duong sao cho x+y+z=1 tim gia tri nho nhat cua

$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$          

:$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}-\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\sum x-\sum y=0$

=>$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{1}{2}(\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}+\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)})=\frac{1}{2} \sum \frac{x^4+y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac       {1}{4}\sum \frac{(x^2+y^2)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac{1}{8}\sum \frac{ (x+y)^2}{x+y}=\frac{1}{8}\sum (x+y)=\frac{1}{4}$

=>đpcm

Cho a,b,c >0 . Sao cho a+b+c=2

Tìm Min : $\sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{2}} + \frac{ab+bc+ca}{2} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị
 

Tuyệt thật ! B lấy ý tưởng như thế nào ra đc thế này vậy

Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b

Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

cho : $a\geq 4$ Tìm Max của $S=a+\frac{1}{a^3}$

Nếu tìm Min thì chỉ cần cauchy là ra mà

<=>$$\frac{3a}{256}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{253a}{256} \geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{256^{3}}}+\frac{253a}{256}\geq \frac{1}{16} + \frac{253X4}{256} = 4\frac{1}{64}$$

Dấu = xảy ra khi a=4

THCS chưa học khảo sát hàm anh nhé!

Có cách nào khác không b

1.   $x^3 + y^3 + 3(x^2 + y^2) + 4(x+y) +4=0 , xy>0$

Tìm max $M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

2. Cho $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \leq 2015$

Tìm Max $P = \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}$

3. Cho $x,y,z> 0$

Cm : $\sqrt{\frac{x+y}{z}} + \sqrt{\frac{z+x}{y}}+ \sqrt{\frac{y+z}{x}} \geq 3\sqrt{2}$

Đúng r . Cho xin luôn

[quote name="leminhnghiatt" post="647035" timestamp="1469780007"]


Ý bạn là đề thế này
Cũng tương tự thôi b



$P=\dfrac{1}{4a^2+2}+\dfrac{1}{4b^2+2}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{6044}{3ab}$

$\geq \dfrac{16}{4a^2+12ab+4b^2+4}+\dfrac{6044}{3ab}$

$=\dfrac{4}{(a+b)^2+ab+1}+\dfrac{6044}{3ab}$

$\geq \dfrac{4}{\dfrac{5}{4}(a+b)^2+1}+\dfrac{6044}{3.\dfrac{(a+b)^2}{4}}=\dfrac{6046}{3}$

Vậy $Min_P=\dfrac{6046}{3} \iff a=b=1
[/quote
ưn

B nên xem lại lí thuyết vì dấu "=" $\iff \dfrac{a_1}{b_1}=...\dfrac{a_n}{b_n} \iff 4a^2+2=4b^2+2=6ab \iff a=b=1$

Tks . N nham ty

http://diendantoanho...2b21frac2015ab/

$BDT <=> \frac{a}{a^{2}+1} + \frac{9(a^{2}+1)}{4a} + \frac{a^{2}+1}{4a}\geq \frac{11}{2} áp  dụng  bđt  thức  cauchy  t a có : \frac{a^{2}+1}{4a} + \frac{a}{a^{2}+1} \geq \frac{1}{2} mà \frac{9(a^{2}+1)}{4a} = \frac{9}{4} (a+\frac{1}{a}) \geq \frac{9}{2} ( do cauchy  a + \frac{1}{a} ) Cộng lại ta được bđt cần c/m$

Tài liệu này dc úp trên trang lttk mà giá mua là 50k khá chát. Nên mình đóng thành pdf  để mọi người in và dùng free . Nhớ like và share nếu thấy tài liệu bổ ích

https://drive.google...aXZrbmlHYXkxVVk

tks thím <3

cho $a,b,c>0$ t/m $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm max $ab+bc+ca$

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$