Chủ đề này có 1 trả lời

[b2stfs]

Cho a,b,c$>$0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR:

  $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}\geq 2+ab+bc+ac$

[25 minutes]

Cho a,b,c$>$0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR:

  $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}\geq 2+ab+bc+ac$

Xét $\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{ab+2c^2}.\sqrt{a^2+b^2+ab}}$

Áp dụng Am-GM dưới mẫu ta có

        $\sqrt{ab+2c^2}.\sqrt{a^2+b^2+ab}\leqslant \frac{ab+2c^2+a^2+b^2+ab}{2}\leqslant \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2}=1$

Do đó $\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geqslant ab+2c^2$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

          $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geqslant ab+bc+ac+2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+2$

Kết thúc chứng minh

Đẳng thức xay ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$