Mình lập topic này vì mình thấy đề thi hsg toán 9 cấp tỉnh Nghệ An 2012-2013 rất hay. Đồng thời giúp các bạn rèn luyện tư duy khi giải toán. Tham gia thôi nào!!
Câu 4. (7.0 điểm) Từ điểm $D$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $DA,DB$ với đường tròn ($A$ và $B$ là các tiếp điểm). Vẽ cát tiếp tuyến $DEC$ ($E$ nằm giữa $D$ và $C$). $OD$ cắt$AB$ tại $M$, $AB$ cắt $EC$ tại $N$. Chứng minh rằng:
$a/ MA$ là phân giác $\angle EMC$
$b/ $MB^{2}.DC=MC^{2}.DE$
$c/ $\frac{2}{EC}=\frac{1}{NC}+\frac{1}{DC}$
Lời giải
$a/$ Ta dự đoán rằng $\Delta EDM\sim ODC(c.g.c)$
Vì vậy, cần chứng minh rằng $\frac{DO}{DC}=\frac{DE}{DM}$ hay $DO.DM=DE.DC$
Mặt khác, $\Delta MDA\sim ADO(g.g)$ nên $OD.MD=AD^{2}$
$\Rightarrow$ cần chứng minh $DE.DC=AD^{2}$.
( Ta coi đây là $1$ bổ đề, phần cuối bài giải mình sẽ chứng minh, các bạn nhé!! ^^ )
Ta có: $\Delta ODC\sim EDM(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle DOC=\angle DEM$ và $\angle EMD=\angle DCO$
$\Rightarrow$ Tứ giác $EMOC$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle CMO=\angle OEC=\angle OCE=\angle EMD$
Đến đây ta có $\angle EMA=\angle AMC$ ( Cùng phụ với 2 góc bằng nhau) $ĐPCM$
$b/$ Dễ thấy rằng $\Delta EMD\sim \Delta OMC(g.g)$
( Chúng ta xét 2 tam giác này vì nó chứa $MC,DE$ xuất hiện ở đề bài)
$\Rightarrow \frac{MD}{MC}=\frac{DE}{OC} \Rightarrow MC.DE=MD.OC$
$\Rightarrow MC^{2}.DE=MD.OC.MC$ (1)
Để xuất hiện $MB^{2}$, ta xét cặp tam giác: $\Delta MBO\sim MDB(g.g)$
$\Rightarrow MB^{2}=DM.MO$ $\Rightarrow MB^{2}.DC=DM.MO.DC$ (2)
Để chứng minh đề bài, ta chỉ cần chứng minh: $ MD.OC.MC=MD.MO.DC$
$\Rightarrow OC.MC=MO.DC$ . Thật vậy, xét $\Delta MOC\sim OCD(g.g)$, ta có $ĐPCM$
$c/$ Như cách làm thường lệ, ta nhân hai vế với $EC$,
cần chứng minh:$\frac{EC}{DC}\+\frac{EC}{NC}=2$ Nhớ đến câu $a$
Ta thấy rằng $\frac{EC}{NC}=1+\frac{EN}{NC}=1+\frac{EM}{MC}$
$\Rightarrow $ Cần chừng minh:$\frac{EC}{DC}=1-\frac{EM}{MC}=1-\frac{DE}{DC}$
Thật vậy, $\Delta ODC\sim \Delta EDM(g.g)$ nên có $ĐPCM$
Bây giờ, chúng ta chứng minh bổ đề đã nêu trên
Gọi $R$ là giao của $BE$ và $DO$
Tứ giác $AEBC$ nội tiếp nên $\angle ACE=\angle EBD$
Ta có: $\angle RBM+\angle MBR=90^{o}$ và $\angle OEB=\angle OBE=\angle RAO$
$\Rightarrow$ Tứ giác EOẢ nội tiếp $\Rightarrow \angle AEO=\angle ORB(=\angle ARO)$
$\Rightarrow \angle OAE=\angle ORB$ .
Mà $\Rightarrow \angle DAE+\angle OEA=\angle RBM+\angle MBR(=90^{o})$
$\Rightarrow \angle DAE=\angle ACD$
$\Rightarrow \Delta EDA\sim ADC(c.g.c)$ $\Rightarrow AD^{2}=DC.DE$
Nhận xét: Bài này khó nhất ở câu a, các câu sau áp dụng tam giác đồng dạng và hệ quả của câu trên.
Câu 1(4 điểm) :a/ Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn: $a+b+c=a^{3}+b^{3}+c^{3}=0$. Chứng minh rằng trong 3 số có ít nhất 1 số bằng 0
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức: $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)=0$
$\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0$ nên có 2 số dối nhau trong 3 số a,b,c nên 1 số bằng 0
Nhận xét: Đây có lẽ là câu để ăn điểm nhất trong đề
Câu 1(4 điểm) :b/ ( Thực sự là mình chưa giải được câu này, nhờ mọi người giúp đỡ nhé!!)
Câu 2:a/ Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}+7x+10}+\sqrt{2x^{2}+x+4}=3(x+1)$
Lời giải
Ta nhận thấy rằng hiệu của 2 biểu thức trong dấu căn trừ cho nhau bằng 2 lần vế phải nên
Đặt: $\sqrt{2x^{2}+7x+10}=a ; \sqrt{2x^{2}+x+4}=b$ ( $a,b\geq 0$)
Ta có: $a+b=\frac{a^{2}-b^{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 2(a+b)=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
Trường hợp 1: $a+b=0$ , $a,b$ không âm nên $a=0,b=0$ ( Vô nghiệm)
Trường hợp 2:: $a+b$ khác $0$ . Chia 2 vế cho $a+b$, được: $a-b=2$ và $a+b=3(x+1)$
$\Rightarrow 2a=3x+5$. Ta bình phương 2 vế, giải tam thức bậc $2$, tìm được giá trị của $x=3$
Thử lại , thỏa mãn phương trình
Vậy: nghiệm của phương trình là $x=3$
Câu 2:b/ Giải hệ phương trình $A=x^{2}-3xy+y^{2}=-1$ và $B=3x^{2}-xy+3y^{2}=13$
Xét: $3B-A=8(x^{2}+y^{2})=40$ $\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}=5 (*)$
Xét: $3A-B=-8xy=-16$ $\Leftrightarrow 2xy=4 (**)$
Từ $(*) , (*)$, ta có: $(x-y)^{2}=1$ và $(x+y)^{2}=9$
Từ đây, giải ra được các giá trị $(x,y)$ là: $(1,2);(-1,-2),(2,1);(-2,-1)$
Nhận xét: bài này cũng không khó để lấy điểm được
Câu 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$
Tìm min $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Lời giải:
Ta có bài toán gốc sau: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=1$ (1)
( Các bạn tự chứng minh nhé!!)
Quay trở lại bài toán, đặt:$M=ab+bc+ca$ $(M >0)$
(1) $\Leftrightarrow \sqrt{P+2M}.(P-M)=1$.
Bình phương 2 vế, ta có: $(P+2M)(P-M)(P-M)=1$ . Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số, ta có:
$\frac{(P+2M+P-M+P-M)^{3}}{27}\geq (P+2M)(P-M)(P-M)=1$
$\Leftrightarrow P^{3}\geq 1$ Nên min $P=1$
Các bạn tự xét dấu bằng nhé!! 
Mong rằng sẽ cùng các bạn phân tích thêm nhiều đề, bài tập khác, nhé các bạn!!
P/s: Mình có rất nhiều tài liệu hay, bạn nào muốn thì mình sẵn sàng chia sẻ , liên hệ với mình ở:
ZING ME: http://me.zing.vn/h/jerrybomm
Gmail: [email protected]
Facebook: https://www.facebook....16?ref=tn_tnmn
Mình là Nhân Chính - Trần Minh Nhân Chính.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 25-06-2013 - 20:04
