Theo đề bài, ta có $a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor$$> \frac{2a_{n+1}}{a_n}+\frac{2a_n}{a_{n+1}}-2\geq 4-2=2\Rightarrow$$a_n\geq 3\forall n\geq 3$. Do đó ta có thể xét dãy $\left \{ a_n \right \}$ mới bắt đầu từ $a_3$ của dãy cũ và lúc này $a_n\geq 3 \forall n$.
Giả sử $max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}>5\forall n$
Xét một bộ $\left ( a_n,a_{n+1} \right )$ bất kỳ và giả sử $a_{n+1}\geq a_n$. Ta xét các trường hợp sau:
+Trường hợp 1: $\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{1}{2}$$\Rightarrow \frac{2a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=0$
$a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor<\frac{2a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{2a_{n+1}}{2}=a_{n+1}\Rightarrow a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.
+Trường hợp 2: $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow a_{n+2}=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.
+Trường hợp 3: $\frac{1}{2}<\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}<2\Rightarrow a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor\leq 1+\left \lfloor 2.2 \right \rfloor=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.
+Trường hợp 4: $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1\Rightarrow a_{n+2}=4< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.
Vậy với mọi trường hợp thì $a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$. Tương tự ta có $a_{n+3}< max\left \{ a_{n+1},a_{n+2} \right \}\leq max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}\Rightarrow max\left \{ a_{n+2},a_{n+3} \right \}< max\left \{ a_{n},a_{n+1} \right \}$. Điều này mâu thuẫn với giả sử cho nên tồn tại $k$ sao cho $max\left \{ a_k,a_{k+1} \right \}\leq 5$.
Do đó $a_k,a_{k+1}\in \left \{ 3,4,5 \right \}$. Bằng tính toán trực tiếp ta suy ra được từ 9 bộ này luôn suy ra được một trong hai bộ $\left ( 4,3 \right )$ hoặc $\left ( 4,4 \right )$. Như vậy tồn tại $m$ để $a_m=4, a_{m+1}\in \left \{ 3,4 \right \}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 24-02-2018 - 16:36