Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
#1
Đã gửi 28-06-2013 - 09:59
#2
Đã gửi 28-06-2013 - 11:10
Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $P=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$
Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được
$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$
đặt $t=x+y,0<t<2$
xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy $ P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 28-06-2013 - 11:21
- Supermath98 yêu thích
#3
Đã gửi 28-06-2013 - 11:25
Cảm ơn nhiều nhé
#4
Đã gửi 28-06-2013 - 17:35
Ta có:
$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$
Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được
$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$
đặt $t=x+y,0<t<2$
xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy $ P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$ơ
Ta có:
$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$
Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được
$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$
đặt $t=x+y,0<t<2$
xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy $ P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$
tớ thay x=y=1 thì kết quả vẫn bé hơn \frac{3\sqrt{3}}{2}$ mà
#5
Đã gửi 28-06-2013 - 17:49
x, y < 1 bạn à
#6
Đã gửi 28-06-2013 - 18:31
x, y < 1 bạn à
nhưng nếu thay như tớ thì điều kiện có vẽ sai
#7
Đã gửi 28-06-2013 - 22:02
Ta có:
$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$
Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được
$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$
đặt $t=x+y,0<t<2$
xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy $ P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$ơ
Ta có:
$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$
Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được
$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$
đặt $t=x+y,0<t<2$
xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy $ P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$
tớ thay x=y=1 thì kết quả vẫn bé hơn \frac{3\sqrt{3}}{2}$ mà
tất nhiên là bé hơn rồi vì kết quả đó là Max cơ mà bạn nghĩ lại xem, điều kiện $0<x,y \leq 1$ thì vẫn đúng nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 28-06-2013 - 22:03
- hoctrocuanewton yêu thích
#8
Đã gửi 02-07-2013 - 09:47
Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $A=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=x+y+\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{3-3y^2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y\sqrt{3-3x^2}$
Áp dụng $Cauchy$ ngược ta có:
$x\sqrt{3-3y^2}\leq \frac{x^2+3-3y^2}{2}$
$y\sqrt{3-3x^2}\leq \frac{y^2+3-3x^2}{2}$
Do đó: $A\leq x+y+\frac{x^2+3-3y^2}{2\sqrt{3}}+\frac{y^2+3-3x^2}{2\sqrt{3}}=x+y-\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\frac{y^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$
$=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4})-\frac{1}{\sqrt{3}}(y^2-y\sqrt{3}+\frac{3}{4})+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}$
$=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( y-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 02-07-2013 - 09:52
- lequanghung98, Tienanh tx và Supermath98 thích
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh