Chủ đề này có 7 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[ngocduy286]

Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $P=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có:

$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$

Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được

$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$

đặt $t=x+y,0<t<2$

xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ P \leq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 28-06-2013 - 11:21

[Ngoc Hung]

Cảm ơn nhiều nhé

[hoctrocuanewton]

Ta có:

$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$

Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được

$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$

đặt $t=x+y,0<t<2$

xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ P \leq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$ơ

 

Ta có:

$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$

Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được

$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$

đặt $t=x+y,0<t<2$

xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ P \leq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$

tớ thay x=y=1 thì kết quả vẫn bé hơn  \frac{3\sqrt{3}}{2}$ mà

[Ngoc Hung]

x, y < 1 bạn à

[hoctrocuanewton]

x, y < 1 bạn à

nhưng nếu thay như tớ thì điều kiện có vẽ sai

[ngocduy286]

 

Ta có:

$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$

Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được

$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$

đặt $t=x+y,0<t<2$

xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ P \leq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$ơ

 

Ta có:

$P=x+y+\sqrt{3}\left ( \sqrt{\frac{x^2}{3}(1-y^2)}+\sqrt{\frac{y^2}{3}(1-x^2)} \right )$

Áp dụng bđt AM-GM (hay cauchy schwarz cũng được) ta được

$\Rightarrow P\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2+y^2)+\sqrt{3}\leq x+y-\frac{\sqrt{3}}{6}(x+y)^2+\sqrt{3}$

đặt $t=x+y,0<t<2$

xét hàm số: $f(t) = t - \frac{\sqrt{3}}{6}t^2 + \sqrt{3}= -\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\sqrt{3})^2+ \frac{3\sqrt{3}}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ P \leq  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y= \frac{\sqrt{3}}{2}$

tớ thay x=y=1 thì kết quả vẫn bé hơn  \frac{3\sqrt{3}}{2}$ mà

 

tất nhiên là bé hơn rồi vì kết quả đó là Max cơ mà bạn nghĩ lại xem, điều kiện $0<x,y \leq 1$ thì vẫn đúng nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 28-06-2013 - 22:03

[Forgive Yourself]

Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Ta có: $A=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=x+y+\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{3-3y^2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y\sqrt{3-3x^2}$

 

Áp dụng $Cauchy$ ngược ta có:

 

$x\sqrt{3-3y^2}\leq \frac{x^2+3-3y^2}{2}$

 

$y\sqrt{3-3x^2}\leq \frac{y^2+3-3x^2}{2}$

 

Do đó: $A\leq x+y+\frac{x^2+3-3y^2}{2\sqrt{3}}+\frac{y^2+3-3x^2}{2\sqrt{3}}=x+y-\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\frac{y^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

 

             $=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4})-\frac{1}{\sqrt{3}}(y^2-y\sqrt{3}+\frac{3}{4})+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}$

 

             $=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( y-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Vậy $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 02-07-2013 - 09:52