Chủ đề này có 1 trả lời

[Valar Morghulis]

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

$a) f(mf(n)) = n^{6}f(mn), \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$

$b)$ Nếu $m, n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(m), f(n)$ nguyên tố cùng nhau.

Đây là đề TST trường mình. Để giải được bài này thì ta phải dùng phương pháp nào, mong được chỉ giáo ?

 

 

 

 

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

$a) f(mf(n)) = n^{6}f(mn), \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$

$b)$ Nếu $m, n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(m), f(n)$ nguyên tố cùng nhau.

Đây là đề TST trường mình. Để giải được bài này thì ta phải dùng phương pháp nào, mong được chỉ giáo ?

Cho $P(m,n)$ có tính chất: $f(mf(n)) = n^{6}f(mn), \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$

$P(1,n)\Rightarrow f(f(n))=n^6f(n)$. Vậy $f$ đơn ánh.

$p(1,1)\Rightarrow f(f(1))=f(1)\Rightarrow f(1)=1$

$P(f(m),n)\Rightarrow f(f(m)f(n))=n^6f(nf(m))=(nm)^6f(mn)$

$P(1,mn)\Rightarrow f(f(mn))=(nm)^6f(mn)$

$\Rightarrow f(f(m)f(n))=f(f(mn))\Rightarrow f(mn)=f(n)f(m)$. Vậy $f$ nhân tính.

Cho $p$ là số nguyên tố.

Giả sử $(f(p),p)=1\Rightarrow (f(f(p)),f(p))=1\Rightarrow (p^6f(p),f(p))=1$ mâu thuẫn.

Nên $(f(p),p)=p$ hay $p | f(p)$

Cho $f(p)=p^k \cdot a$ sao cho $(p,a)=1$ và $k\in \mathbb{N^*}$

Ta có $f(f(p))=p^6f(p)\Rightarrow f(p^k\cdot a)=p^6f(p)$

$\Rightarrow (f(p))^{k-1}f(a)=p^6\Rightarrow f(a)=1\Rightarrow a=1$

$\Rightarrow f(p)=p^k$ thử lại thấy $k=3$

Vậy $f(n)=n^3$ với $n$ là số nguyên tố.

Mà $f$ là hàm nhân tính nên $\boxed{f(n)=n^3},\forall n\in \mathbb{N^*}$

Bài này xài tính đơn ánh, chứng minh hàm nhân tính rồi sử dụng số học để làm