Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$
Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$
Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$
Áp dụng BĐT Cô si:
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)=216-72(x+y+z)+24(xy+yz+zx)-8xyz=24(xy+yz+xz)-8xyz-216$
$ \Rightarrow 9xyz\geq 24(xy+yz+xz)-216$
$ \Rightarrow xyz\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)-24$
$\Rightarrow \sum x^{2}-\sum xy+xyz\geq \sum x^{2}+\frac{5}{3}\sum xy-24=(x+y+z)^{2}-\frac{1}{3}(\sum xy)-24\geq (x+y+z)^{2}-24-\frac{1}{9}(x+y+z)^{2}=8$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$
Best Friend
sã! kinh thế, có cách nào ngắn hơn ko bạn???
Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$
ta chứng minh $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right ) \leq xyz$(*) thật vậy ta có
Trường hợp 1:
Nếu một trong 3 thừa số cua tích ở vế trái (*) nhỏ hơn không thì BĐT hiển nhiên đúng
Trường hợp 2:
Nếu 2 trong 3 thừa số trên âm thì sẽ thấy vô lí
Trường hợp 3:
nếu cả 3 thừa số đều âm thì ta co a+b+c<0(vô lí);
Trường hợp 4: cả 3 thừa số đều dương
theo BĐT Cosi
$\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\leq x^{2}$(1)
tương tự có $ \left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )\leq z^{2}$(2)
$\left ( x+y-z \right )\left ( y+z-x \right )\leq y^{2}$(3)
nhân(1),(2),(3) theo vế ta có đpcm
(*)$\Leftrightarrow\left ( 6-2z \right )\left ( 6-2y \right )\left ( 6-2x \right ) \leq xyz$
$\Leftrightarrow216+24(xy+yz+zx)-72(x+y+z)-8xyz\leq xyz$
$\Leftrightarrow8xyz-24(xy+yz+xz)+8\left ( x+y+z \right )^{2}\geq -xyz+72\geq-\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}+72$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz+xyz\geq 8$
Edited by thanhducmath, 01-07-2013 - 21:35.
thank 2 bạn nhiều
ta chứng minh $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right ) \leq xyz$(*) thật vậy ta có
Trường hợp 1:
Nếu một trong 3 thừa số cua tích ở vế trái (*) nhỏ hơn không thì BĐT hiển nhiên đúng
Trường hợp 2:
Nếu 2 trong 3 thừa số trên âm thì sẽ thấy vô lí
Trường hợp 3:
nếu cả 3 thừa số đều âm thì ta co a+b+c<0(vô lí);
Trường hợp 4: cả 3 thừa số đều dương
theo BĐT Cosi
$\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\leq x^{2}$(1)
tương tự có $ \left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )\leq z^{2}$(2)
$\left ( x+y-z \right )\left ( y+z-x \right )\leq y^{2}$(3)
nhân(1),(2),(3) theo vế ta có đpcm
(*)$\Leftrightarrow\left ( 6-2z \right )\left ( 6-2y \right )\left ( 6-2x \right ) \leq xyz$
$\Leftrightarrow216+24(xy+yz+zx)-72(x+y+z)-8xyz\leq xyz$
$\Leftrightarrow8xyz-24(xy+yz+xz)+8\left ( x+y+z \right )^{2}\geq -xyz+72\geq-\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}+72$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz+xyz\geq 8$
Anh ơi, đề bài cho x,y,,z dương rồi mà
chứng minh các nhân tử ở vế trái dương là điều kiện để nhân theo vế các BĐT với nhau
0 members, 1 guests, 0 anonymous users