Chủ đề này có 6 trả lời

[Leorick King]

Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$

[Best Friend]

Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$

Áp dụng BĐT Cô si:

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)=216-72(x+y+z)+24(xy+yz+zx)-8xyz=24(xy+yz+xz)-8xyz-216$

$ \Rightarrow 9xyz\geq 24(xy+yz+xz)-216$

$ \Rightarrow xyz\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)-24$

$\Rightarrow \sum x^{2}-\sum xy+xyz\geq \sum x^{2}+\frac{5}{3}\sum xy-24=(x+y+z)^{2}-\frac{1}{3}(\sum xy)-24\geq (x+y+z)^{2}-24-\frac{1}{9}(x+y+z)^{2}=8$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$

[Leorick King]

sã! kinh thế, có cách nào ngắn hơn ko bạn???

[thanhducmath]

Cho 3 số dương x,y,z thoà x+y+z=6. chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz+xyz \geq8$

ta chứng minh $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right ) \leq xyz$(*) thật vậy ta có

Trường hợp 1:

Nếu một trong 3 thừa số cua tích ở vế trái (*) nhỏ hơn không thì BĐT hiển nhiên đúng

Trường hợp 2:

Nếu 2 trong 3 thừa số trên âm thì sẽ thấy vô lí

Trường hợp 3:

nếu cả 3 thừa số đều âm thì ta co a+b+c<0(vô lí);

Trường hợp 4: cả 3 thừa số đều dương

theo BĐT Cosi

                    $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\leq x^{2}$(1)

tương tự có $ \left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )\leq z^{2}$(2)

                 $\left ( x+y-z \right )\left ( y+z-x \right )\leq y^{2}$(3)

nhân(1),(2),(3) theo vế ta có đpcm

(*)$\Leftrightarrow\left ( 6-2z \right )\left ( 6-2y \right )\left ( 6-2x \right ) \leq xyz$

   $\Leftrightarrow216+24(xy+yz+zx)-72(x+y+z)-8xyz\leq xyz$

   $\Leftrightarrow8xyz-24(xy+yz+xz)+8\left ( x+y+z \right )^{2}\geq -xyz+72\geq-\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}+72$

    $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz+xyz\geq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhducmath: 01-07-2013 - 21:35

[Leorick King]

thank 2 bạn nhiều

[trandaiduongbg]

ta chứng minh $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right ) \leq xyz$(*) thật vậy ta có

Trường hợp 1:

Nếu một trong 3 thừa số cua tích ở vế trái (*) nhỏ hơn không thì BĐT hiển nhiên đúng

Trường hợp 2:

Nếu 2 trong 3 thừa số trên âm thì sẽ thấy vô lí

Trường hợp 3:

nếu cả 3 thừa số đều âm thì ta co a+b+c<0(vô lí);

Trường hợp 4: cả 3 thừa số đều dương

theo BĐT Cosi

                    $\left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\leq x^{2}$(1)

tương tự có $ \left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )\leq z^{2}$(2)

                 $\left ( x+y-z \right )\left ( y+z-x \right )\leq y^{2}$(3)

nhân(1),(2),(3) theo vế ta có đpcm

(*)$\Leftrightarrow\left ( 6-2z \right )\left ( 6-2y \right )\left ( 6-2x \right ) \leq xyz$

   $\Leftrightarrow216+24(xy+yz+zx)-72(x+y+z)-8xyz\leq xyz$

   $\Leftrightarrow8xyz-24(xy+yz+xz)+8\left ( x+y+z \right )^{2}\geq -xyz+72\geq-\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}+72$

    $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz+xyz\geq 8$

Anh ơi, đề bài cho x,y,,z dương rồi mà

[thanhducmath]

chứng minh các nhân tử ở vế trái dương là điều kiện để nhân theo vế các BĐT với nhau