Chủ đề này có 1 trả lời

[tranxuandat]

Với $a,b,c$ là các số dương, chứng minh rằng:

\[\sum {\sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}} }  \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranxuandat: 03-07-2013 - 10:52

[Ispectorgadget]

Với $a,b,c$ là các số dương, chứng minh rằng:

\[\sum {\sqrt {\frac{{2a}}{{a + b}}} }  \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

SAi đề rồi bợn ngồi làm hoài ko ra .... :3

 

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có $$\left(\frac{a+b}{2a} \right )^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2a} \right )+\frac{1}{2} =\frac{3a+b}{2a}$$

$$\Rightarrow \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\ge \frac{2a}{3a+b}$$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta có

$$LHS \ge \frac{2a}{3a+b}+\frac{2b}{3b+c}+\frac{2c}{3c+a}\ge \frac{2(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ac}$$

$$\ge \frac{2(a+b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)} =\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$$

 

Có rì tí sửa lại.... bi giờ bận.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-07-2013 - 21:32