Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$
Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$
Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$\frac{x^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\geq x$
$\frac{y^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y}{2}\geq y$
$\Rightarrow \frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}\geq \frac{3}{4}$
GTLN mà bạn
Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$
Nếu là tìm min :
Cách 1 : $\frac{x^3}{x+1}\geq \frac{16x-5}{36}$$\Leftrightarrow (9x+5)(2x-1)^2\geq 0$ ( đúng vì $x$ không âm )
Tương tự $...$
$\Rightarrow P\geq \frac{16(x+y)-10}{36}=\frac{1}{6}$
Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Cách 2 : $\frac{x^3}{x+1}+\frac{x+1}{18}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{2}$ ( cô sô 3 sí )
Tương tự ...
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}(x+y)-\frac{1}{18}(x+y)-\frac{5}{18}=\frac{1}{6}$
Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 04-07-2013 - 20:32
Tác giả :
Lương Đức Nghĩa
Đề có 2 ý là tìm GTNN với GTLN
tớ thấy GTLN là bằng $\frac{1}{2}$ khi x=1 , y=0 hoặc x=0,y=1
Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^3}{x+1}+\frac{y^3}{y+1}$$
mình thư chém xem được không nhé
Ta thấy x+y=1 mà x,y là số thực không âm nên $0\leq x,y\leq 1ta sẽ chứng minh
$\frac{x^{3}}{x+1}\leq \frac{x^{2}}{2}$(1)
Thật vậy ta có(1)$\Leftrightarrow 2x^{3}\leq x^{3}+x^{2}\Leftrightarrow x^{3}\leq x^{2}$ điều này hiển nhiên vì$0\leq x\leq 1$
Dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=0
tương tự$\frac{y^{3}}{y+1}\leq \frac{y^{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{1-2xy}{2}=\frac{1}{2}-xy\leq \frac{1}{2}$
Vậy MaxP=$\frac{1}{2}$ tại=1,y=0 hoặc x=0,y=1
Chuyên Vĩnh Phúc
tớ thấy GTLN là bằng $\frac{1}{2}$ khi x=1 , y=0 hoặc x=0,y=1
đúng rồi đó mình làm theo kết quả bạn nè
Chuyên Vĩnh Phúc
đúng rồi đó mình làm theo kết quả bạn nè
cậu làm đúng rồi . cách giải khá hay đó nhưng không biết còn cách nào nữa không nhỉ
cậu làm đúng rồi . cách giải khá hay đó nhưng không biết còn cách nào nữa không nhỉ
dạng này chắc chắn có cách khác nhưng cơ bản minh chưa nghĩ ra
Chuyên Vĩnh Phúc
mình thư chém xem được không nhé
Ta thấy x+y=1 mà x,y là số thực không âm nên $0\leq x,y\leq 1ta sẽ chứng minh
$\frac{x^{3}}{x+1}\leq \frac{x^{2}}{2}$(1)
Thật vậy ta có(1)$\Leftrightarrow 2x^{3}\leq x^{3}+x^{2}\Leftrightarrow x^{3}\leq x^{2}$ điều này hiển nhiên vì$0\leq x\leq 1$
Dấu bằng xảy ra khi x=1 hoặc x=0
tương tự$\frac{y^{3}}{y+1}\leq \frac{y^{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{1-2xy}{2}=\frac{1}{2}-xy\leq \frac{1}{2}$
Vậy MaxP=$\frac{1}{2}$ tại=1,y=0 hoặc x=0,y=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 04-07-2013 - 19:50
cái đó đúng rồi bạn
đâu có ngược dấu gì đâu
Cách giải hay đó bạn. Làm thế nào để nghĩ ra được hướng đó vậy
ờ thì mình nghĩ tử bậc 3 mẫu bậc 1 thì nó phải lớn hơn 1 đa thức x bậc 2 thêm x chạy từ 0 đến 1 xong rồi mò dần là ra mà
ai cũng bảo hay mà chẳng ai like nhể thật khó hiểu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 04-07-2013 - 20:34
Chuyên Vĩnh Phúc
Cách thứ 2 đơn giản hơn nhiều bởi vì nó sử dụng kiến thức THPT, chỉ cần 2 biến x, y về một biến t rồi khảo sát hàm số
Đại loại thì x= 1/2 +t ; y= 1/2 -t
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh