Chủ đề này có 6 trả lời

[shinichigl]

Chứng minh rằng trong 2013 số tự nhiên n₁, n₂, ..., n₂₀₁₃ bất kì luôn tồn tại một số chia hết cho 2013 hoặc hữu hạn số có tổng chia hết cho 2013.

[buiminhhieu]

Chứng minh rằng trong 2013 số tự nhiên n₁, n₂, ..., n₂₀₁₃ bất kì luôn tồn tại một số chia hết cho 2013 hoặc hữu hạn số có tổng chia hết cho 2013.

 ta xét các tổng sau:

$S_{1}=n_{1}; S_{2}=n_{1}+n_{2}; S_{3}=n_{1}+n_{2}+n_{3}; ... ;S_{2013}=n_{1}+...+n_{2013}.$

Nếu có 1 số chia hết 2013 ta có điều phải chứng minh

Nếu không có số nào chia hết 2013 thì có 2013 số mà có 2012 số dư khi chia cho 3 tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2013 hiệu chúng chia hết 2013 

Hiệu đó chính là tổng của hữu hạn số tự nhiên đã cho

[shinichigl]

 ta xét các tổng sau:

$S_{1}=n_{1}; S_{2}=n_{1}+n_{2}; S_{3}=n_{1}+n_{2}+n_{3}; ... ;S_{2013}=n_{1}+...+n_{2013}.$

Nếu có 1 số chia hết 2013 ta có điều phải chứng minh

Nếu không có số nào chia hết 2013 thì có 2013 số mà có 2012 số dư khi chia cho 3 tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2013 hiệu chúng chia hết 2013 

Hiệu đó chính là tổng của hữu hạn số tự nhiên đã cho

Có lẽ là cách chứng minh của bạn sai rồi.

Nếu như nói theo bạn thì chỉ có hiệu 2 số tự nhiên chia hết 2013, còn đây là tổng của hữu hạn số tự nhiên, tức là có thể lớn 2,

Thật vậy, nếu xét 4 số tự nhiên n₁,n₂,n₃,n₄ bất kì luôn tồn tại một số chia hết cho 2013 hoặc hữu hạn số có tổng chia hết cho 4

ta xét 2 trường hợp:

TH1: trong 4 số có một số chia hết cho 4 thì bài toán được chứng minh

TH2: trong 4 số không có số nào chia hết cho 4

Giả sử tồn tại 4 số sao cho không thoã mãn đề bài ra, ta xét số dư của 4 số,

Giả sử n₁ chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₂,n₃,n₄ có số dư $\neq$ 1(vì nếu = 1 thì sẽ thoã mãn đề bài ra)

Giả sử n₂ chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₃,n₄ có số dư $\neq$ 1,2 ( vì nếu = 2 thì 3+3+2=8 chia hết cho 4, thoã mãn đề bài ra)

Giả sử n₃ chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₄ có số dư $\neq$ 1, 2, 3

$\Rightarrow$ n₄ chia hết 4 $\Rightarrow$ vô lý với giả thiết

Từ đó, ta chứng minh được đề bài

Theo cách chứng minh của mình thì tổng của 3 số n₁, n₂, n₃ cũng có thể chia hết cho 4 chứ không nhất thiết là phải 2 số ( ví dụ lấy 3 số 3, 3, 2 , mỗi số đều không chia hết cho 4, tổng hay hiệu của 2 số bất kì cũng không chia hết cho 4, chỉ có tổng của 3 số chia hết cho 4)

Nếu bạn lấy 5 số, 6 số thì cũng như vậy. Mình nghĩ với 4,5,6,.. số tự nhiên được thì 2013 số tự nhiên thì cũng như vậy, nhưng chưa biết cách chứng minh, nếu dùng cách chứng minh trên thì phải xét đến 2013 số, chưa nói là còn phải xét 2013 số dư

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 05-07-2013 - 09:18

[buiminhhieu]

Có lẽ là cách chứng minh của bạn sai rồi.

Nếu như nói theo bạn thì chỉ có hiệu 2 số tự nhiên chia hết 2013, còn đây là tổng của hữu hạn số tự nhiên, tức là có thể lớn 2,

Thật cậy nếu xét 4 số tự nhiên n₁,n₂,n₃,n₄ bất kì luôn tồn tại một số chia hết cho 2013 hoặc hữu hạn số có tổng chia hết cho 4

ta xét 2 trường hợp:

TH1: trong 4 số có một số chia hết cho 4 thì bài toán được chứng minh

TH2: trong 4 số không có số nào chia hết cho 4

Giả sử tồn tại 4 số sao cho không thoã mãn đề bài ra, ta xét số dư của 4 số,

Giả sử n₁ chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₂,n₃,n₄ có số dư $\neq$ 1(vì nếu = 1 thì sẽ thoã mãn đề bài ra)

Giả sử n₂ chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₃,n₄ có số dư $\neq$ 1,2 ( vì nếu = 2 thì 3+3+2=8 chia hết cho 4, thoã mãn đề bài ra)

Giả sử n₃chia 4 dư 3 $\Rightarrow$ n₄ có số dư $\neq$ 1, 2, 3

$\Rightarrow$ n₄ chia hết 4 $\Rightarrow$ vô lý với giả thiết

Từ đó, ta chứng minh được đề bài

Nếu bạn lấy 5 số, 6 số thì cũng như vậy. Mình nghĩ với 4,5,6,.. số tự nhiên được thì 2013 số tự nhiên thì cũng như vậy, nhưng chưa biết cách chứng minh, nếu dùng cách chứng minh trên thì phải xét đến 2013 số, chưa nói là còn phải xét 2013 số dư

cậu hiểu nhầm ý mình rồi ý mình là các số$S_{1},S_{2},...,S_{2013}$tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2013 mà

[shinichigl]

cậu hiểu nhầm ý mình rồi ý mình là các số$S_{1},S_{2},...,S_{2013}$tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2013 mà

Mình cũng không hiểu cách chứng minh bạn cho lắm, có thể nói rõ hơn không ?

[buiminhhieu]

Mình cũng không hiểu cách chứng minh bạn cho lắm, có thể nói rõ hơn không ?

đây nhá 

xét các tổng$S_{1}=n_{1}$

                   $S_{2}=n_{1}+n_{2}$

                   $S_{3}=n_{1}+n_{2}+n_{3}$

                   ......

                   $S_{2013}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{2013}$

trường hợp 1: nếu trong 2013 cái S có 1 số chia hết cho 2013 thì có tổng 1 hoặc hữu han số  từ $n_{1}$đến $n_{k}$trường hợp 2: nếu trong 2013 cái S không có cái nào chia hết 2013 thì ta có 2013 số dư khi chia cho 2013 mà nhận 2012 số dư khi chia cho 2013 là 1,2,3,..,2012

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 S có cùng số dư khi chia 2013

giả sử là $S_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{i}$

          và $S_{j}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{j}$(i>j)

hiệu $S_{i}-S_{j}=n_{i-j+1}+n_{i-j+2}+n_{i-j+3}+...+n_{i}$ chia hết 2013 đây là tổng hữu hạn số chia hết 2013

Đến đây không  hiểu nữa thì mình bó tay rồi              

[shinichigl]

đây nhá 

xét các tổng$S_{1}=n_{1}$

                   $S_{2}=n_{1}+n_{2}$

                   $S_{3}=n_{1}+n_{2}+n_{3}$

                   ......

                   $S_{2013}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{2013}$

trường hợp 1: nếu trong 2013 cái S có 1 số chia hết cho 2013 thì có tổng 1 hoặc hữu han số  từ $n_{1}$đến $n_{k}$trường hợp 2: nếu trong 2013 cái S không có cái nào chia hết 2013 thì ta có 2013 số dư khi chia cho 2013 mà nhận 2012 số dư khi chia cho 2013 là 1,2,3,..,2012

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 S có cùng số dư khi chia 2013

giả sử là $S_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{i}$

          và $S_{j}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{j}$(i>j)

hiệu $S_{i}-S_{j}=n_{i-j+1}+n_{i-j+2}+n_{i-j+3}+...+n_{i}$ chia hết 2013 đây là tổng hữu hạn số chia hết 2013

Đến đây không  hiểu nữa thì mình bó tay rồi              

Cảm ơn nhiều đến đây thì hiểu rồi !