Chủ đề này có 4 trả lời

[Math Is Love]

Mời mọi người chém thử bài này!      

Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a(a+b)(a+c)+3abc}{b+c} \geq \frac{7}{2}(ab+bc+ca)$$

 

[babystudymaths]

 

Mời mọi người chém thử bài này!      

Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a(a+b)(a+c)+3abc}{b+c} \geq \frac{7}{2}(ab+bc+ca)$$

 

Quá Đơn giản mà bạn,đùa tí

Ta có:,bđt tương đương

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+4abc(\sum \frac{1}{a+b})+\sum a^{2}\geq \frac{7}{2}(ab+bc+ca)$

Theo bđt schur,ta có :

$\sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Vậy ta chỉ cần chứng minh

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{4}}{b+c}+2\sum a^{3}+18abc\geq 3(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Lại schur cho ta $\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$\sum \frac{2a^{4}}{b+c}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Lại có

$\sum (\frac{2a^{4}}{b+c}+\frac{(b+c)a^{2}}{2})\geq \sum 2a^{3}$ (cauchy 2 số)

mà $a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b,b^{3}+a^{2}b\geq 2b^{2}a\rightarrow \Rightarrow \sum a^{3}\geq \sum \frac{a^{2}(b+c)}{2}\Rightarrow \sum \frac{2a^{4}}{b+c}\geq \sum a^{3}$

Việc còn lại của ta chỉ là chứng minh BĐT shur $\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[Math Is Love]

Quá Đơn giản mà bạn,đùa tí

Ta có:,bđt tương đương

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+4abc(\sum \frac{1}{a+b})+\sum a^{2}\geq \frac{7}{2}(ab+bc+ca)$

Theo bđt schur,ta có :

$\sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Vậy ta chỉ cần chứng minh

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq \frac{3}{2}(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{4}}{b+c}+2\sum a^{3}+18abc\geq 3(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Lại schur cho ta $\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$\sum \frac{2a^{4}}{b+c}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Lại có

$\sum (\frac{2a^{4}}{b+c}+\frac{(b+c)a^{2}}{2})\geq \sum 2a^{3}$ (cauchy 2 số)

mà $a^{3}+ab^{2}\geq 2a^{2}b,b^{3}+a^{2}b\geq 2b^{2}a\rightarrow \Rightarrow \sum a^{3}\geq \sum \frac{a^{2}(b+c)}{2}\Rightarrow \sum \frac{2a^{4}}{b+c}\geq \sum a^{3}$

Việc còn lại của ta chỉ là chứng minh BĐT shur $\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài này là anh mất nửa tiếng sáng tạo đấy!

Thực ra trong lời giải của anh ngay từ đầu dùng một hệ quả khác của BĐT Schur là:

$$ \sum \frac{a}{b+c} + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$$

thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Em thử xem!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 08-07-2013 - 15:38

[babystudymaths]

Bài này là anh mất nửa tiếng sáng tạo đấy!

Thực ra trong lời giải của anh ngay từ đầu dùng một hệ quả khác của BĐT Schur là:

$$ \sum \frac{a}{b+c} + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$$

thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Em thử xem!

À vâng,a làm hay đấy,em phải học tập mới được ,mà hỏi ngoài lề tí,nik fb của a là gì ạ?

[Math Is Love]

À vâng,a làm hay đấy,em phải học tập mới được ,mà hỏi ngoài lề tí,nik fb của a là gì ạ?

Facebook