Chủ đề này có 4 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$

$$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c^2}$$

Chứng minh rằng  trong 3 số $a,b,c$ tồn tại 1 số bằng bình phương của số còn lại

 

$\boxed{2}$ Cho $b,x$ là số tự nhiên , $a$ nguyên tố thoả mãn

$a^2+b^2=c^2$. Chứng minh ta luôn có $a<b$ và $b+1=c$

 

$\boxed{3}$

a) Giải phương trình 

 

$$(\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}).x=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}$$

 

b) Tìm $x,y$ thoả mãn

$(x+y)(x^2-y^2)=9$ và $(x-y)(x^2+y^2)=5$

c) Tìm $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$ và $x^5+y^4+z^4=xyz$

 

[phatthemkem]

 

b) Tìm $x,y$ thoả mãn

$(x+y)(x^2-y^2)=9$ và $(x-y)(x^2+y^2)=5$

 

Hiển nhiên $x\neq \pm y$

Ta có

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^2-y^2)=9\\ (x-y)(x^2+y^2)=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+x^2y-y^3=9\\ x^3+xy^2-x^2y-y^3=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy)=7$

Suy ra

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+y^2+xy)=7\\ (x-y)(x^2+y^2)=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)\left [ (x-y)^2+3xy \right ]=7\\ (x-y)\left [ (x-y)^2+2xy \right ]=5 \end{matrix}\right.$

Đặt $a=x-y,b=xy$, ta có

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+y^2+xy)=7\\ (x-y)(x^2+y^2)=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a(a^2+3b)=7\\ a(a^2+2b)=5 \end{matrix}\right.$

Tới đây có thể dễ dàng giải tiếp.

[buiminhhieu]

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$

$$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c^2}$$

Chứng minh rằng  trong 3 số $a,b,c$ tồn tại 1 số bằng bình phương của số còn lại

 

$\boxed{2}$ Cho $b,x$ là số tự nhiên , $a$ nguyên tố thoả mãn

$a^2+b^2=c^2$. Chứng minh ta luôn có $a<b$ và $b+1=c$

 

$\boxed{3}$

a) Giải phương trình 

 

$$(\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}).x=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}$$

 

b) Tìm $x,y$ thoả mãn

$(x+y)(x^2-y^2)=9$ và $(x-y)(x^2+y^2)=5$

c) Tìm $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=1$ và $x^5+y^4+z^4=xyz$

câu 2 nếu b hoặc c = 0 đề sai

nếu b,c>0 ta có $a^{2}=(c-b)(c+b)$Do a là số nguyên tố ẩy ra 1 TH

c-b=1 và c+b=$a^{2}$ suy ra c=b+1 và b=$\frac{a^{2}-1}{2}$ dễ thấy $\frac{a^{2}-1}{2}$$>$a (biến đổi tương đương vì a>2)

vậy ...

[Juliel]

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$

$$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c^2}$$

Chứng minh rằng  trong 3 số $a,b,c$ tồn tại 1 số bằng bình phương của số còn lại

 

Đặt $(\frac{a^{2}}{b};\frac{b^{2}}{c};\frac{c^{2}}{a})\rightarrow (x;y;z)$

Theo đề bài : 

$\left\{\begin{matrix} xyz=abc=1 & & \\ x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=xy+yz+zx & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$

Suy ra : $xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=0\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ y=1\\ z=1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} b=a^{2}\\ c=b^{2}\\ a=c^{2} \end{bmatrix}$

Đây là điều phải chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-07-2013 - 14:40

[Best Friend]

Giải phương trình 

 

$$(\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}).x=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}$$

 

 

 

3) Ta có :

$A=\frac{1}{11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}=\frac{1}{1.11}+\frac{1}{2.12}+..+\frac{1}{100.110}=\frac{1}{10}\left (\frac{10}{1.11}+\frac{10}{2.12}+..+\frac{10}{100.110} \right )=\frac{1}{10}\left (1-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{110} \right )=\frac{1}{10}\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-...-\frac{1}{110} \right )$

$B=\frac{1}{101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110}=\frac{1}{100}\left (\frac{1}{1.101}+\frac{1}{2.102}+....+\frac{1}{10.110} \right )=\Rightarrow A=Bx\Leftrightarrow \frac{x}{100}\left ( 1-\frac{1}{101}+\frac{1}{2}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{110} \right )=\frac{1}{10}\left ( 1-\frac{1}{101}+\frac{1}{2}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{110} \right )\Rightarrow x=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Best Friend: 06-07-2013 - 08:24