cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$
CMR $\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 08-07-2013 - 10:06
cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$
CMR $\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 08-07-2013 - 10:06
tàn lụi
cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$
CMR $\sum \frac{1}{1-ab}\geq \frac{9}{2}$
Em xem tại đây nhé, bài của em bị ngược dấu rồi
http://diendantoanho...1-caleq-frac92/
cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$
CMR $\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$
Em xem tại đây nhé, bài của em bị ngược dấu rồi
Bài này hoàn toàn đúng và không bị ngược dấu
Lời giải.
Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
$\frac{a^2}{1-a^2}+\frac{b^2}{1-b^2}+\frac{c^2}{1-c^2}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}+\frac{ab}{1-ab}\geqslant 3$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:
$\frac{a^2}{1-a^2}+\frac{b^2}{1-b^2}+\frac{c^2}{1-c^2}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}+\frac{ab}{1-ab}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{a^2(1-a^2)+b^2(1-b^2)+c^2(1-c^2)+bc(1-bc)+ca(1-ca)+ab(1-ab)}=\frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{a^2(b^2+c^2)+b^2(c^2+a^2)+c^2(a^2+b^2)+bc(a^2+b^2+c^2-bc)+ca(a^2+b^2+c^2-ca)+ab(a^2+b^2+c^2-ab)}$
Ta cần chứng minh: $(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2\geqslant 3a^2(b^2+c^2)+3b^2(c^2+a^2)+3c^2(a^2+b^2)+3bc(a^2+b^2+c^2-bc)+3ca(a^2+b^2+c^2-ca)+3ab(a^2+b^2+c^2-ab)$
$\Leftrightarrow a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)+c^2(c-a)(c-b)\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối là Schur bậc 4 nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh