Chủ đề này có 3 trả lời

[Miranda]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}= \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =$x^{2}+3xy-2y^{2}-8y+5$ 

[Christian Goldbach]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}= \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =$x^{2}+3xy-2y^{2}-8y+5$ 

$\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}=(\sqrt{y}-\sqrt{x})(x+y+\sqrt{xy})\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y+\sqrt{xy})=0\Leftrightarrow x=y\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3\geq -3\Leftrightarrow x=y=2$

[AM GM]

dk $\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}= y\sqrt{y}- x\sqrt{x}$

G/s x > Y $\Rightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{y-1} > 0$

$\Rightarrow y\sqrt{y}-x\sqrt{x}> 0$

$\Rightarrow y > x$( vo li  )

$\Rightarrow y=x$

thay vao 

$\Rightarrow S = 2x^{2}-8x +5 \geq -3$

[nguyenhongsonk612]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}= \sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =$x^{2}+3xy-2y^{2}-8y+5$ 

Mình có cách này nhưng không biết có đúng không, mong mọi người chỉ bảo:

Ta có: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ đkxđ: $x\geq 1;y\geq 1$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1})=y\sqrt{y}-x\sqrt{x}$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1})(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1})(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})=(y\sqrt{y}-x\sqrt{x})(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1})$ $\Leftrightarrow (x-y)((x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+(x^{2}+xy+y^{2})(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}))=0$.

Với điều kiện $x\geq 1;y\geq 1$ thì $(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+(x^{2}+xy+y^{2})(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1})=0$ luôn dương vì vậy x-y=0 nên x=y (*)

Thay (*) vào S ta được:

S=$2(x-2)^{2}-3\geq -3$. Vậy min S=-3. Dấu "=" khi và chỉ khi x=y=2