Chủ đề này có 3 trả lời

[ntnt]

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$$

 

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

 

[badboykmhd123456]

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$$

 

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

$S=\sum \frac{\sqrt{0.5}x}{\sqrt{0.5(1-x)}}\geq \sum \frac{\sqrt{2}x}{1.5-x}= \sum \frac{\sqrt{2}x^2}{1.5x-x^2}\geq \sqrt{2}\frac{(x+y)^2}{1.5(x+y)-(x^2+y^2)}\geq \frac{\sqrt{2}}{1.5-0.5}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow min S=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[SOYA264]

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$$

 

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Mình mới chỉ nghĩ ra cách tìm min bằng đạo hàm :

Ta có:

$$S=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$$

               

     =$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}}$

 

Theo giả thiết: $x+y=1\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-2\sqrt{xy}=1\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1+2\sqrt{xy}}$

 

Đặt $t=\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$

 

Khi đó:

 

$S=\frac{1+2t\sqrt{1+2t}-3t\sqrt{1+2t}}{t}=\frac{(1-t)\sqrt{1+2t}}{t}$

 

Xét hàm $f(t)=\frac{(1-t)\sqrt{1+2t}}{t}$ trên $(0;\frac{1}{2}]$

 

Ta có:    $f'(t)=\frac{-t^{2}-t-1}{t^{2}.\sqrt{1+2t}}< 0,\forall t \in (0;\frac{1}{2}]$

 

Hàm $f(t)$ nghịch biến trên $(0;\frac{1}{2}]$

 

$\Rightarrow f(t)\geq f(\frac{1}{2})=\sqrt{2}$

 

Vậy $minS=\sqrt{2}$, đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 09-07-2013 - 10:38

[bossulan239]

Theo C-B-S ta có

$S= \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{y\sqrt{x}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{xy}.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

Ta có $x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S\geq \frac{(x+y)^{2}}{\frac{1}{2}.\sqrt{2}}= \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})}= \sqrt{2}$