$sin^2A$+$sin^2B$+$\frac{\sqrt{2}}{2}sin^2C$$\leq$ $1+\frac{3\sqrt{2}}{4}$
cho tam giác ABC, c/m $sin^2A$+$sin^2B$+$\frac{\sqrt{2}}{2}sin^2C$$\leq$ $1+\frac{3\sqrt{2}}{4}$
Bắt đầu bởi VDKAkam, 09-07-2013 - 12:59
#2
Đã gửi 09-07-2013 - 15:34
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Ta có:
$M = \sin^2{A} + \sin^2{B} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C}$
$= \dfrac{1 - \cos{2A}}{2} + \dfrac{1 - \cos{2B}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C}$
$= 1 - \dfrac{1}{2}(\cos{2A} + \cos{2B}) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C}$
$= 1 - \cos{(A + B)}\cos{(A - B)} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C}$
$= 1 + \cos{C}\cos{(A - B)} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C} $
- Nếu $\cos{(A - B)} \leq 0$ thì A hoặc B là góc tù. Khi đó: C là góc nhọn. Vì vậy: $\cos{C} > 0$
Từ đó suy ra: $M \leq 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1 + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
- Nếu $0 < cos{(A - B)} \leq 1$. Khi đó:
$M \leq 1 + \cos{C} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin^2{C} = 1 + \cos{C} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 - \cos^2{C})$
$\Leftrightarrow M \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \cos{C} - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )^2 + 1 + \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \leq 1 + \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
