Chủ đề này có 7 trả lời

[THYH]

Câu 1:

1. Rút gọn biểu thức với $a>0, a\neq 4$:

$$A=\left ( \frac{a\sqrt{a}-8}{a-2\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+8}{a+2\sqrt{a}}+\frac{a+4}{\sqrt{a}} \right ).\frac{1}{(\sqrt{a}+2)^{2}}$$

2. Giả phương trình: $\frac{2013x^{2}}{\sqrt{2013^{2}+1}-1}=\sqrt{2013x^{2}+4}$

3. Giả hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^{2} -5xy+2y^{2}=0& & \\x^{2} y=3y-x & & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Cho phương trình $mx^{2}-2(m-2)x-m-2=0$ $(1)$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left | x_1-x_2 \right |=3$.

Câu 3: 

1. Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $\frac{x^{2}+y^2}{x^2y^2}+\frac{2}{z^{2}}=1$.

2. Cho $a, b$ là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq 8$.

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O, R)$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt tia phân giác của $\widehat{ABC}$ ở $I$, cắt cạnh $BC$ ở $E$ và cắt đường tròn $(O, R)$ ở $M$ ($M$ khác $A$).

1. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$.

2. Đường vuông góc với $AE$ tại $E$ cắt cung $BIC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ ở $H$. Chứng minh $ME.MA=MH^2$.

3. Hai điểm $P$ và $Q$ lần lượt di động trên 2 tia $OA$ và $OI$ sao cho $OP+OQ=2R$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi trên tia $OA$ và $Q$ thay đổi trên tia $OI$ thì trung điểm $J$ của đoạn thẳng $PQ$ luôn chạy trên một đường thẳng cố đinh.

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ và $O$ là điểm nằm trong tam giác đó. Gọi $M, N, K$ lần lượt là giao điểm của $AO$ với $BC$. $BO$ với $AC$ và $CO$ với $AB$. Qua $O$, kẻ các đoạn thằng $EF, PQ, IJ$ sao cho $EF// BC$ ($E\in AB$, $F\in AC$), $PQ // AC$ ($P\in AB, Q\in BC$), $IJ// AB$ ($I\in AC, J\in BC$).

1. Chứng minh $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=1$.

 

2. Chứng minh $\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=2$.

 

----Hết----

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 09-07-2013 - 22:31

[Yagami Raito]

Câu 1:

 

3. Giả hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^{2} -5xy+2y^{2}=0& & \\x^{2} y=3y-x & & \end{matrix}\right.$

 

----Hết----

$(1)\Rightarrow (x-2y)(2x-y)=0$

$\Rightarrow x=2y$ hoặc $y=2x$. Tới đây thay vào (2) là được

[Supermath98]

Câu 1:

 

2. Giả phương trình: $\frac{2013x^{2}}{\sqrt{2013x^{2}+1}-1}=\sqrt{2013x^{2}+4}$                          (*)                                                                     

 

----Hết----

b. Ta có:$\large \large \left ( * \right )\Leftrightarrow \frac{2013x^{2}\left ( \sqrt{2013x^{2}+1}+1 \right )}{2013x^{2}}=\sqrt{2013x^{2}+4}$

 

-Thấy x=0 không phải nghiệm của pt nên $\large x\neq 0$ 

 

$\large \Leftrightarrow \sqrt{2013x^{2}+1}+1=\sqrt{2013x^{2}+4}$

 

Đặt $\large \sqrt{2013x^{2}+1}=a$ khi đó pt thành $\large \sqrt{a}+1=\sqrt{a+3}\Leftrightarrow a=1$

Do đó x=0 loại! Vậy pt vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 09-07-2013 - 22:16

[Christian Goldbach]

Câu 1:

1. Rút gọn biểu thức với $a>0, a\neq 4$:

$$A=\left ( \frac{a\sqrt{a}-8}{a-2\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+8}{a+2\sqrt{a}}+\frac{a+4}{\sqrt{a}} \right ).\frac{1}{(\sqrt{a}+2)^{2}}$$

2. Giả phương trình: $\frac{2013x^{2}}{\sqrt{2013^{2}+1}-1}=\sqrt{2013x^{2}+4}$

3. Giả hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^{2} -5xy+2y^{2}=0& & \\x^{2} y=3y-x & & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Cho phương trình $mx^{2}-2(m-2)x-m-2=0$ $(1)$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left | x_1-x_2 \right |=3$.

Câu 3: 

1. Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $\frac{x^{2}+y^2}{x^2y^2}+\frac{2}{z^{2}}=1$.

2. Cho $a, b$ là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq 8$.

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O, R)$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt tia phân giác của $\widehat{ABC}$ ở $I$, cắt cạnh $BC$ ở $E$ và cắt đường tròn $(O, R)$ ở $M$ ($M$ khác $A$).

1. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$.

2. Đường vuông góc với $AE$ tại $E$ cắt cung $BIC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ ở $H$. Chứng minh $ME.MA=MH^2$.

3. Hai điểm $P$ và $Q$ lần lượt di động trên 2 tia $OA$ và $OI$ sao cho $OP+OQ=2R$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi trên tia $OA$ và $Q$ thay đổi trên tia $OI$ thì trung điểm $J$ của đoạn thẳng $PQ$ luôn chạy trên một đường thẳng cố đinh.

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ và $O$ là điểm nằm trong tam giác đó. Gọi $M, N, K$ lần lượt là giao điểm của $AO$ với $BC$. $BO$ với $AC$ và $CO$ với $AB$. Qua $O$, kẻ các đoạn thằng $EF, PQ, IJ$ sao cho $EF// BC$ ($E\in AB$, $F\in AC$), $PQ // AC$ ($P\in AB, Q\in BC$), $IJ// AB$ ($I\in AC, J\in BC$).

1. Chứng minh $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=1$.

 

2. Chứng minh $\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=2$.

 

----Hết----

Câu 3:

2)$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a^2b^2}{(b-1)(a-1)}}=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}= 2.\frac{(a-1)+1}{\sqrt{a-1}}.\frac{(b-1)+1}{\sqrt{b-1}}\geq 2.2.2=8$

[Supermath98]

 

Câu 2: Cho phương trình $mx^{2}-2(m-2)x-m-2=0$ $(1)$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left | x_1-x_2 \right |=3$.

 

 

----Hết----

Ta có: $\large \Delta '=2m^{2}-2m+4> 0$ với mọi m.

Do đó để pt có hai nghiệm phân biệt thì $\large m\neq 0$

Theo Vi-et ta có: $\large \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{2\left ( m-2 \right )}{m} & & \\ x_{1}x_{2}=\frac{-m-2}{m} & & \end{matrix}\right.$

 

Theo bài ra ta phải tìm m thỏa mãn $\large \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=9\Rightarrow \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-4x_{1}x_{2}=9$

Thay hệ thức Vi-et vào và giải m

[Ha Manh Huu]

 

Câu 3: 

2. Cho $a, b$ là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq 8$.

 

 

----Hết----

ta có $\frac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geq 4a$ tương tự rồi cộng vế ta có $\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}\geq 2$

[hieuvipntp]

đề ni quả là không khó

câu 3.1 đây:

$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{2}{z^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{z^{2}}=1$(do các ẩn dương)

 Tới đây giả sử$x\geq y\geq z$ thì $\frac{1}{x^{2}}\leq \frac{1}{y^{2}}\leq \frac{1}{z^{2}}$

 khí đó $\frac{4}{z^{2}}\geq 1$

  có được $x=y=z=2$

[NgADg]

Câu 5 :

1) Ta có :$$\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}$$ 

$$\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}$$

$$\frac{OK}{CK}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}$$

$\Rightarrow S=\frac{S_{OBC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$

2)Ta có :

$$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{AO}{AM}=\frac{AM-OM}{AM}=1-\frac{OM}{AM}$$

Tương tự :

$$\frac{PQ}{AC}=1-\frac{ON}{BN}$$

$$\frac{IJ}{AB}=1-\frac{OK}{CK}$$

$\Rightarrow S'=3-S=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 18-07-2013 - 18:31