Chủ đề này có 1 trả lời

[C a c t u s]

Cho x, y là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện: $(x + \sqrt{x^2 + 1})(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 2012$. Tìm GTNN của $P = x + y$

 

[quangtq1998]

Đặt$ 2012=a;$
$gt \Leftrightarrow $$ y+\sqrt{y^2+1}=a(\sqrt{x^2+1}-x) $
        $x+\sqrt{x^2+1}=a(\sqrt{y^2+1}-y) $
    $\Rightarrow$    $    x+y+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} = a( \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1})-a(x+y) $
$\Rightarrow (x+y)(1+a) = (a-1)( \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1})$
Đặt$ x+y=A; \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=B$
Ta có :                 $A(1+a)=B(a-1)$
Ta có :
$B^2=x^2+y^2+2+2\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}$
       $ \ge x^2+y^2+2+2(xy+1)= (x+y)^2+4 = A^2+4 $
Ta có :
           $A^2(a+1)^2 = B^2(a-1)^2 \ge (A^2+4)(a-1)^2 $
$\Rightarrow \frac{A^2+4}{A^2}\leq \frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}$
$ \Leftrightarrow \frac{4}{A^2} \leq \frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)^2}=\frac{4a}{(a-1)^2}=\frac{8048}{2011^2}$
$\Rightarrow $              $A \ge \frac{2011\sqrt{2012}}{2012}$
Hay $P_{min}= \frac{2011\sqrt{2012}}{2012}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{2012^2-1}{4024}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 12-07-2013 - 18:26