Chủ đề này có 2 trả lời

[nxt96]

Với xy+yz+xz=3, x,y,z $\geq$0 chứng minh:

$\frac{x^{4}}{y+3z}+\frac{y^{4}}{z+3x}+\frac{z^{4}}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nxt96: 12-07-2013 - 22:50

[tranphuonganh97]

Với xy+yz+xz=3, x,y,z $\geq$0 chứng minh:

$\frac{x^{4}}{y+3z}+\frac{y^{4}}{z+3x}+\frac{z^{4}}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwart có:
$\frac{x^{4}}{y+3z}+\frac{y^{4}}{z+3x}+\frac{z^{4}}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

$\frac{x^{4}}{y+3z}+\frac{y^{4}}{z+3x}+\frac{z^{4}}{x+3y}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x+y+z)}$

có: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}<=> x+y+z\leq \sqrt{3}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Do đó: 
$VT\geq \frac{(\sum x^2)^2}{4\sqrt{3}.(\sum x^2)}=\frac{(\sum x^2)^3}{4\sqrt{3}}$

Mà: $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx => \sum x^2\geq 3$

=> $VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=1

[badboykmhd123456]

Với xy+yz+xz=3, x,y,z $\geq$0 chứng minh:

$\frac{x^{4}}{y+3z}+\frac{y^{4}}{z+3x}+\frac{z^{4}}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

tham khảo thêm ở đây