Chủ đề này có 3 trả lời

[bachhammer]

Cho a,b,c là các số thực thoả $(a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\leq 6-(a+b+c)$.

Tìm GTLN của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc$.

[dinhthanhhung]

Cho a,b,c là các số thực thoả $(a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\leq 6-(a+b+c)$.

Tìm GTLN của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc$.

 

$t=a+b+c$ thì $3(ab+bc+ca)\leq t^2$ 

Kết hợp giả thiết : $(t-6)(t^{2}+1)\leq 0\Leftrightarrow t\leq 6$

Mặt khác : $27abc\leq t^3$ (*) đồng thời $2(ab+bc+ca)=t^2-(a^2+b^2+c^2)$

Do đó : $27abc+9(a^2+b^2+c^2)\leq 9t^2-t+6$

 

Đến đây thì khá đơn giản , tuy nhiên bài trên em làm với điều kiện a,b,c dương ( phần (*)). Ai có cao kiến thì góp ý .

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho a,b,c là các số thực thoả $(a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\leq 6-(a+b+c)$.

Tìm GTLN của biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc$.

Nhận xét:Ta thấy bài này nếu xét a,b,c<0 thì giá trị của P sẽ không có lớn nhất. Ví dụ:c=1 còn a,b=$-\infty$ thì giá trị của A tăng lên liên tục.Vậy ta xét với a,b,c thực dương.

$6-(a+b+c)\geqslant (a+b+c)^{3}-18(ab+bc+ca)\geqslant (a+b+c)^3-6(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow ((a+b+c)^2+1)(a+b+c-6)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b+c\leqslant 6$

Ta có:$9P=9(a+b+c)^2+27abc-18(ab+bc+ac)\leqslant 9(a+b+c)^2+27abc+6-(a+b+c)^3-(a+b+c)$

Đặt $a+b+c=x$ ta có:$9x^2+6-x-x^3\leqslant 114-x\Leftrightarrow (x-6)^2(x+3)\geqslant 0$ 

Thay vào ta có: $9P\leqslant 114+27abc-(a+b+c)$

Áp dụng BĐT $27abc\leqslant (a+b+c)^3\leqslant 36(a+b+c)$ Ta có:

$9P\leqslant 114+35(a+b+c)\leqslant 324$

$\Leftrightarrow P\leqslant 36$

Vậy$Max(P)=36\Leftrightarrow a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 13-07-2013 - 16:29

[bachhammer]

Tinh thần của bài toán là đưa về xét với các số thực dương, tuy nhiên cần lưu ý là trường hợp có hai số âm thì vẫn đúng ((2;2;-2) khi đó a+b+c=2<=6). Còn cái đánh giá cuối như sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3abc\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}\geq 36$.