Chủ đề này có 2 trả lời

[LittleAquarius]

Bài 1: Cho $a = \sqrt{65} - \sqrt{63}$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{8} < a < \frac{2}{5}$

 

Bài 2: Cho dãy số $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3},... , a_{n}$. Tính $a_{2010}$ biết :$a_{0} = 1$ ; $a_{1} = \frac{\sqrt{3}+a_{0}}{1-\sqrt{3}a_{0}}$ ; $a_{2} = \frac{\sqrt{3}+a_{1}}{1-\sqrt{3}a_{1}}$ ; $...$

Bài 3: Chứng minh rằng: $P > \frac{1}{12\sqrt{2}}$ với $P = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{3}} + \frac{1}{(\sqrt{5}+\sqrt{8})^{3}}+...+\frac{1}{(\sqrt{2006}+\sqrt{2009})^{3}}$
 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1.

Giải

Ta có: 

$a = \sqrt{65} - \sqrt{63} = \dfrac{2}{\sqrt{65} + \sqrt{63}}$

Nhận thấy: 

$\dfrac{1}{\sqrt{65} + \sqrt{64}} < \dfrac{1}{\sqrt{64} + \sqrt{43}}$

 

$\Rightarrow \sqrt{65} - \sqrt{64} < \sqrt{63} - \sqrt{64} $

 

$\Rightarrow \sqrt{65} + \sqrt{63} < 2\sqrt{64} = 16$

 

$\Rightarrow a = \dfrac{2}{\sqrt{65} + \sqrt{3}} > \dfrac{1}{8}$

 

Mặt khác: $\sqrt{65} + \sqrt{63} > \sqrt{25} = 5 \Rightarrow a < \dfrac{2}{5}$

 

Do đó: $\dfrac{1}{8} < a < \dfrac{2}{5}$

 

[AM GM]

bai 2

ta có $a_{2}= \frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}+a_{0}}{1-\sqrt{3}a_{0}}}{1-\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}a_{0}}}=\frac{\sqrt{3}-a_{0}}{-1-\sqrt{3}a_{0}}$

làm tiếp tục $\Rightarrow a_{3}=a_{0}=a_{6}=a_{9}=...=a_{2010}=1$