1 reply to this topic

[Yagami Raito]

Cho tam giác $ABO$ vuông cân ở $O$, $M$ thay đỏi trong miền góc vuông OAB. $OM=a$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $OA,OB$ lần lượt tại $A',B'$

a) Chứng minh : $MA'^2+MB'^2$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$.

b) Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $MA'+MB'$ max

c) Tìm ví trí điểm $M$ sao cho $MA'^8+MB'^8$ min

[Juliel]

Cho tam giác $ABO$ vuông cân ở $O$, $M$ thay đỏi trong miền góc vuông OAB. $OM=a$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $OA,OB$ lần lượt tại $A',B'$

a) Chứng minh : $MA'^2+MB'^2$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$.

b) Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $MA'+MB'$ max

c) Tìm ví trí điểm $M$ sao cho $MA'^8+MB'^8$ min

 

Giải :

a) Vẽ $(O ; a)$ thì $M$ chạy trên $(O)$

Kẻ $MH\perp OA;MK\perp OB$

Dễ thấy các tam giác $A'HM$ và $B'KM$ vuông cân và $HMKO$ là hình chữ nhật nên $\left\{\begin{matrix} A'H=HM & & \\ B'K=MK & & \end{matrix}\right.$ và $HK = OM$

Do đó :

$MA'^{2}+MB'^{2}=(A'H^{2}+HM^{2})+(MK^{2}+B'K^{2})=2(HM^{2}+MK^{2})=2HK^{2}=2OM^{2}=2a^{2}$  

(không đổi)

 

b) Ta có : $MA'+MB'\leq \sqrt{2(MA'^{2}+MB'^{2})}=\sqrt{4a^{2}}=2a$

$Max(MA'+MB')=2a\Leftrightarrow MA'=MB'\Leftrightarrow OM\perp AB$

 

c) Ta có :

$MA'^{8}+MB'^{8}\geq \frac{(MA'^{4}+MB'^{4})^{2}}{2}\geq \frac{(MA'^{2}+MB'^{2})^{4}}{8}=2a^{8}$

$Min(MA'^{8}+MB'^{8})=2a^{8}\Leftrightarrow MA'=MB'\Leftrightarrow OM\perp AB$

Edited by Juliel, 16-07-2013 - 12:29.