Đề bài: Cho $a\geqslant 1$, $b\geqslant 1$. Chứng minh rằng: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leqslant ab$
$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leqslant ab$
Bắt đầu bởi LittleAquarius, 17-07-2013 - 10:18
#1
Đã gửi 17-07-2013 - 10:18
LittleAquarius
-
- Thành viên
-
- 47 Bài viết
Binh nhất
Toán học hấp dẫn ta
bằng những khó khăn và bằng những hi vọng
(Hin-be)
#2
Đã gửi 17-07-2013 - 10:24
Yagami Raito
-
- Thành viên
-
- 1333 Bài viết
Master Tetsuya
Ta có : Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$a\sqrt{(b-1).1}\leq a.\frac{b}{2}$
Tương tự
$b\sqrt{(a-1).1}\leq b.\frac{a}{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$
- mrwin99 và LittleAquarius thích
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#3
Đã gửi 18-07-2013 - 18:06
NgADg
-
- Thành viên
-
- 116 Bài viết
Trung sĩ
Bạn có thể tham khảo thêm tại Đây : http://diendantoanho...-ab-geqslant-1/
- Oral1020 yêu thích
Tự hào là member CQT
Trên con đường thành công , không có bước chân của kẻ lười biếng
#4
Đã gửi 18-07-2013 - 18:36
NgADg
-
- Thành viên
-
- 116 Bài viết
Trung sĩ
Bài tập tương tự :
Cho a > c , b > c, c>0.CMR$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$
Tự hào là member CQT
Trên con đường thành công , không có bước chân của kẻ lười biếng
#5
Đã gửi 18-07-2013 - 19:02
trauvang97
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
Bài tập tương tự :
Cho a > c , b > c, c>0.CMR$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức:
$\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}\leq 1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{c}{b}+\frac{a-c}{a} \right )$
$\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{c}{a}+\frac{b-c}{b} \right )$
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta có đpcm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
