Chủ đề này có 4 trả lời

[buiminhhieu]

Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất thỏa mãn p có thể viết thành 10 tổng 

     p=$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+2y_{2}^{2}=x_{3}^{2}+3y_{3}^{3}=...=x_{10}^{2}+10y_{10}^{2}$

                                                       

[bachhammer]

Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất thỏa mãn p có thể viết thành 10 tổng  a

     p=$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+2y_{2}^{2}=x_{3}^{2}+3y_{3}^{3}=...=x_{10}^{2}+10y_{1{2}$

                                                       

Giải luôn!!!:

Ta thấy ngay là p > 10.

Từ $p=x_{10}^{2}+10y_{10}^{2}\Rightarrow p\equiv x_{10}^{2}(mod10)$

Suy ra $p\equiv r(mod10);r\in(0;1;4;5;6;9)$, mà p là số nguyên tố lớn hơn 10 nên $r\in(1;9)$.(1)

Từ $p=x_{3}^{2}+3y_{3}^{2}$ nên p chia 3 dư 1 (do p lớn hơn 10 nên p ko chia hết cho 3).(2)

Từ $p=x_{8}^{2}+8y_{8}^{2}\Rightarrow p\equiv s(mod8);s\in(0;1;4)$ mà p lớn hơn 10 nên s = 1.(3)

(1); (2) suy ra p - 1 chia hết cho 24 hay p - 1 = 24m. Cũng từ (1) suy ra 24m chia cho 10 dư 0 hoăc 8 nên m khi chia cho 10 có dư là 0;2;7. Thế nên m = 10a + u, u thuộc trong tập {0; 2; 7}.(4)

Từ $p=x_{7}^{2}+7y_{7}^{2}$ ta suy ra $p\equiv s(mod7);s\in(0;1;2;4)$ nhưng mà p là số nguyên tố lớn hơn 10 nên chia 7 dư 1;2;4.

Do p - 1 = 24m nên 24m tận cùng là 0;1;3. Suy ra m chia 7 dư 0;1;5.(5)

Ta sẽ tìm m < 50 thoả (4); (5) nên thử trực tiếp ta có m = 7,12,22,40,42,47.

Lại thay vào công thức p = 24m +1 thì ta thấy p = 1009 là số nguyên tố thoả.

(KO bít đúng ko?)

[buiminhhieu]

Giải luôn!!!:

Ta thấy ngay là p > 10.

Từ $p=x_{10}^{2}+10y_{10}^{2}\Rightarrow p\equiv x_{10}^{2}(mod10)$

Suy ra $p\equiv r(mod10);r\in(0;1;4;5;6;9)$, mà p là số nguyên tố lớn hơn 10 nên $r\in(1;9)$.(1)

Từ $p=x_{3}^{2}+3y_{3}^{2}$ nên p chia 3 dư 1 (do p lớn hơn 10 nên p ko chia hết cho 3).(2)

Từ $p=x_{8}^{2}+8y_{8}^{2}\Rightarrow p\equiv s(mod8);s\in(0;1;4)$ mà p lớn hơn 10 nên s = 1.(3)

(1); (2) suy ra p - 1 chia hết cho 24 hay p - 1 = 24m. Cũng từ (1) suy ra 24m chia cho 10 dư 0 hoăc 8 nên m khi chia cho 10 có dư là 0;2;7. Thế nên m = 10a + u, u thuộc trong tập {0; 2; 7}.(4)

Từ $p=x_{7}^{2}+7y_{7}^{2}$ ta suy ra $p\equiv s(mod7);s\in(0;1;2;4)$ nhưng mà p là số nguyên tố lớn hơn 10 nên chia 7 dư 1;2;4.

Do p - 1 = 24m nên 24m tận cùng là 0;1;3. Suy ra m chia 7 dư 0;1;5.(5)

Ta sẽ tìm m < 50 thoả (4); (5) nên thử trực tiếp ta có m = 7,12,22,40,42,47.

Lại thay vào công thức p = 24m +1 thì ta thấy p = 1009 là số nguyên tố thoả.

(KO bít đúng ko?)

chỗ màu đấy nếu p=97 thì sao

[buiminhhieu]

chỗ màu đấy nếu p=97 thì sao

nếu mình hiểu thì thây từ tận cùng là chia cho 7 dư...

[bachhammer]

chỗ màu đấy nếu p=97 thì sao

 

nếu mình hiểu thì thây từ tận cùng là chia cho 7 dư...

 

Dù p bằng 97 cũng ko thỏa đề bài (x10^{2}+10y10^{2}, làm biếng gõ công thức ), còn tận cùng thì nhầm rùi, phải là dư (chia 7 dư...).

Cáo lỗi!!!