8 replies to this topic

[Phuong Thu Quoc]

Chứng minh rừng nếu n²-1=3a(a+1) với a là số tự nhiên thì n có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên liên tiếp.  

[kinhvung]

Chứng minh rừng nếu n²-1=3a(a+1) với a là số tự nhiên thì n có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên liên tiếp.  

Attached Images

• 

[duongtoi]

 

Chứng minh rừng nếu n²-1=3a(a+1) với a là số tự nhiên thì n có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên liên tiếp.  

 

$a$ và $a+1$ nguyên tố cùng nhau khi $a\ge 2$. Hơn nữa $3a$ và $a+1$ chưa chắc nguyên tố cùng nhau. VD $a=2$ nên cách làm này chưa đúng.

[duongtoi]

Không biết bài này là bạn ra cho lớp mấy. Mình dùng cách này co sử dụng kiến thức của lớp 9 nhé.

Ta có $n^2-1=3a(a+1)\Leftrightarrow 3a^2+3a-n^2+1=0$

Có $\Delta=9+12n^2-12=12n^2-3>0$ nên PT có nghiệm $a=\frac{-3+\sqrt{12n^2-3}}{6}\in\mathbb{N}$.

Suy ra, $\sqrt{12n^2-3}=k\quad (k\in\mathbb{N})$

Ta được $n=1$ hoặc $n=13$

Với $n=1$ ta được $a=0$.

Mặt khác, $n=1=0^2+1^2$ nên ta được dpcm.

Với $n=13$ ta được $a=7$.

Mặt khác, $n=13=2^2+3^2$ nên ta được dpcm.

 

 

(CHẮC CHẮN CÒN CÁCH THUẦN SỐ HỌC NHƯNG MÌNH ĐÓNG GÓP THÊM CÁCH NÀY CHO MỌI NGƯỜI CÙNG THAM KHẢO).

Edited by duongtoi, 22-07-2013 - 14:24.

[kinhvung]

$a$ và $a+1$ nguyên tố cùng nhau khi $a\ge 2$. Hơn nữa $3a$ và $a+1$ chưa chắc nguyên tố cùng nhau. VD $a=2$ nên cách làm này chưa đúng.

hiển nhiên 3a và a+1 chưa chắc nguyên tố cùng nhau, và thực tế chứng minh hệ mình đã nói rất đơn giản. Nên cách giải của mình hoàn toàn đúng

Edited by kinhvung, 21-07-2013 - 23:00.

[duongtoi]

hiển nhiên 3a và a+1 chưa chắc nguyên tố cùng nhau, và thực tế chứng minh hệ mình đã nói rất đơn giản. Nên cách giải của mình hoàn toàn đúng

Mình lấy VD $a=2$ nhé. Khi đó $VP=3.2.3$ thì có các TH sau xảy ra là

TH1: $n-1=2;n+1=3.3$

TH2: $n-1=3;n+1=2.3$

TH3: $n-1=1;n+1=3.2.3$

Nếu $a$ lớn hơn nữa thì có nhiều TH nữa xảy ra.

Chứ đâu có duy nhất một trường hợp như cách làm của bạn.

[kinhvung]

Mình lấy VD $a=2$ nhé. Khi đó $VP=3.2.3$ thì có các TH sau xảy ra là

TH1: $n-1=2;n+1=3.3$

TH2: $n-1=3;n+1=2.3$

TH3: $n-1=1;n+1=3.2.3$

Nếu $a$ lớn hơn nữa thì có nhiều TH nữa xảy ra.

Chứ đâu có duy nhất một trường hợp như cách làm của bạn.

+ n-1 và n+1 là hai số chẵn hoặc lẻ liên tiếp (hơn kém nhau 2 đơn vị) nên các trường hợp như bạn nói là không có. Nhưng xem lại thấy có một sai sót dẫn đến thiếu nghiệm. Cảm ơn bạn đã đóng góp để lời giải hoàn chỉnh hơn

 

Hướng giải

Ta có: (n-1)(n+1)=3a(a+1)

      + n=2k thì VT lẻ, VP chẵn (loại)

      + n=2k+1 thì có 4k(K+1)=3a(a+1) do đó VP chia hết cho 4 nên a=4h hoặc a=4h+3

             Nếu a=4h thì có k(k+1)=3h(4h+1)  do đó 4h+1 -3h=1 nên h=0 hay a=0 thay vào PT có n=1 (Ko lấy n=-1)

             Nếu a=4h+3 thì k(k+1)=3(h+1)(4h+3) do đó (4h+3)-(3h+3)=1 nên h=1 hay a=7 thay n=13=2²+3²

(Lưu ý do k và k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp, UCLN=1; nên mới có điều trên)

[Phuong Thu Quoc]

+ n-1 và n+1 là hai số chẵn hoặc lẻ liên tiếp (hơn kém nhau 2 đơn vị) nên các trường hợp như bạn nói là không có. Nhưng xem lại thấy có một sai sót dẫn đến thiếu nghiệm. Cảm ơn bạn đã đóng góp để lời giải hoàn chỉnh hơn

 

Hướng giải

Ta có: (n-1)(n+1)=3a(a+1)

      + n=2k thì VT lẻ, VP chẵn (loại)

      + n=2k+1 thì có 4k(K+1)=3a(a+1) do đó VP chia hết cho 4 nên a=4h hoặc a=4h+3

             Nếu a=4h thì có k(k+1)=3h(4h+1)  do đó 4h+1 -3h=1 nên h=0 hay a=0 thay vào PT có n=1 (Ko lấy n=-1)

             Nếu a=4h+3 thì k(k+1)=3(h+1)(4h+3) do đó (4h+3)-(3h+3)=1 nên h=1 hay a=7 thay n=13=2²+3²

(Lưu ý do k và k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp, UCLN=1; nên mới có điều trên)

Sai rồi bạn ơi, làm sao có thể làm được như trên

Ơ đây không thể tìm một vài giá trị của n như trên được vì có vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài

Các số n được xác định như sau

$$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1,u_{2}=13 & & \\ u_{n}=14u_{n-1}-u_{n-2} & & \end{matrix}\right.$

Các bạn hãy thử xem

[kinhvung]

Sai rồi bạn ơi, làm sao có thể làm được như trên

Ơ đây không thể tìm một vài giá trị của n như trên được vì có vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài

Các số n được xác định như sau

$$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1,u_{2}=13 & & \\ u_{n}=14u_{n-1}-u_{n-2} & & \end{matrix}\right.$

Các bạn hãy thử xem

Cảm ơn bạn. Thử lại thấy chuẩn. thiếu nghiệm như bạn nói. Nhưng nhìn trình bày có vẻ chặt, không hiểu sai từ đâu nhỉ. Bạn có thể đưa lời giải?