Bên trong hình vuông cạnh $100$, ta đặt một đường gấp khúc $L$ có tính chất là mỗi điểm của hình vuông đều cách $L$ một khoảng không lớn hơn $0,5$. Chứng minh rằng khi đó trên $L$ có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1$ nhưng "khoảng cách" dọc theo $L$ giữa chúng không nhỏ hơn $198$
Cm có 2 điểm $A,B$ mà $AB\leq1$ nhưng $L_{AB} \geq 198$
Bắt đầu bởi TDHAIT, 11-01-2006 - 21:09
#1
Đã gửi 11-01-2006 - 21:09
- E. Galois, NguyThang khtn, henry0905 và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 25-08-2012 - 09:23
Ta nhận thấy ở lân cận 0,5 nằm trong hình vuông phải có một phần gấp khúc $L_i$ của L đi qua. Xét hai điểm AB năm trong lân cận 0,5 của một cạnh nào dó và thuộc L . và phần đường gấp khúc đi qua AB ko nằm hết trong lân cận đó ( ta gọi đó là các phần lõm của đường gấp khúc đối với cạnh tương ứng, nó cũng đúng khi gáp khúc suy biến thành đường thẳng) xét A'B' thuộc phần lõm AB và nằm trên biên của lân cận thì gọi C là một điểm trên cạnh đớ thì ta có $A'B'<CA+CB \leq0,5+0,5=1$. Bây h giả sử $L_{A'B'}<198$ xét tất cả các điểm như thế thì ta có đỉnh của các phần lõm này ko thuộc lân cận của cạnh đối diện. Ví dụ như hình vuong XYZT thì phần lõm của gấp khúc đối với XY thì đỉnh của nó ko thuộc lân cận $0,5$ đối với ZT. vì nếu nó thuộc lân cận của ZT thì $L{A'B'} \geq 2.(100-0,5+0,5)=198$
Vậy nên theo điều giả sử thì với mỗi cạnh phải có một phần gấp khúc riêng của nó. Giả sử đường gấp khúc này phủ được một phần lân cận cảu hình vuông và còn một phần $l(MN)$ chưa đi qua thì khi đó giả sử đường đi của ta đang xét tiếp tục đi từ M đến N thì khi M tiến đến gần N thì do M và N ko thể trùng nhau. mặt khác theo trên thì MN<1. và khi đó ta thấy $L{MN} \geq 99.4>198$
Vậy ta luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 nhưng "khoảng cách" dọc theo $L$ giữa chúng không nhỏ hơn 198
Vậy nên theo điều giả sử thì với mỗi cạnh phải có một phần gấp khúc riêng của nó. Giả sử đường gấp khúc này phủ được một phần lân cận cảu hình vuông và còn một phần $l(MN)$ chưa đi qua thì khi đó giả sử đường đi của ta đang xét tiếp tục đi từ M đến N thì khi M tiến đến gần N thì do M và N ko thể trùng nhau. mặt khác theo trên thì MN<1. và khi đó ta thấy $L{MN} \geq 99.4>198$
Vậy ta luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 nhưng "khoảng cách" dọc theo $L$ giữa chúng không nhỏ hơn 198
198
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 25-08-2012 - 09:23
- 123123, E. Galois, perfectstrong và 10 người khác yêu thích
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995
#4
Đã gửi 17-07-2016 - 12:11
Bài toán của thầy VNC
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh