Cho a,b,c là các số không âm không đồng thời bằng không
CMR
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{b^{2}+bc+c^{2}}$
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{b^{2}+bc+c^{2}}$
Bắt đầu bởi bossulan239, 18-07-2013 - 11:24
#2
Đã gửi 18-07-2013 - 11:49
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b,c là các số không âm không đồng thời bằng không
CMR
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}\geq \sum \frac{ab}{b^{2}+bc+c^{2}}$
BĐT đã cho tương đương với
$\frac{a^2}{ab+bc+ca}-\frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{ab+bc+ca}-\frac{bc}{c^2+ca+a^2}+\frac{c^2}{ab+bc+ca}-\frac{ca}{a^2+ab+b^2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ac(ac-b^2)}{b^2+bc+c^2}\geq 0$
Do $\frac{ac(ac-b^2)}{b^2+bc+c^2}=\frac{ac^2(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}-ac$ nên BĐT đã cho có thể viết lại thành
$\sum \frac{ac^2(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}\geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ac^2}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
$VT\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{\sum a(b^2+bc+c^2)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Kết thúc chứng minh 
- Zaraki, donghaidhtt, banhgaongonngon và 5 người khác yêu thích
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
