Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn hệ thức:

$\left\{\begin{matrix} u_{n}>0\\u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm $limu_{n}$

[tran thanh binh dv class]

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn hệ thức:

$\left\{\begin{matrix} u_{n}>0\\u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm $limu_{n}$

 

Ta có $u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1}\Leftrightarrow u_{n+1}\leq u_n(1-u_n)$ Vì $u_n \geq 0\Rightarrow 0 \leq u_n\leq1$

Mặt khác từ BĐT trên ta cũng có $u_{n+1}\leq u_n(1-u_n)\leq u_n$ Nên dãy $u_n$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn ( Giả sử đó là a). Khi đó ta có $a^2 \leq a-a=0 \Rightarrow a=0$. Vậy $limu_n=0$