Chủ đề này có 1 trả lời

[chrome98]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 23-07-2013 - 13:23

[Tru09]

Bài làm :
Đặt $a+b+c =p $

$ab+bc+ca =q$

Thay vào ta có :
$\frac{(p^2-2q)p}{q} +p \leq \frac{6(p^2-2q)}{p}$

$\Leftrightarrow (p^2-2q)p^2 +p^2q \leq 6(p^2-2q)q$

$\Leftrightarrow p^4 -2qp^2 +qp^2 \leq 6p^2q -12p^2$

$\Leftrightarrow p^4 -7qp^2 +12p^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow (p^2 -3q)(p^2 -4q)\leq 0$

Thay lại ta có 

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)(a^2+b^2+c^2 -2ab-2bc-2ca)$

Dễ có $a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca \geq 0$

----Ta sẽ chứng minh $a^2+b^2+c^2 -2ab-2bc-2ca \leq 0$

Ta có

$a+b>c \Rightarrow \sqrt{a} +\sqrt{b} > \sqrt{a+b} >\sqrt{c} $

$b+c >a \Rightarrow \sqrt{b} +\sqrt{c} > \sqrt{b+c} > \sqrt{a}$

$c+a>b \Rightarrow \sqrt{c} +\sqrt{a} > \sqrt{a+c} > \sqrt{b}$

Vậy $\sqrt{a} ,\sqrt{b} ,\sqrt{c}$ cũng là 3 cạnh của 1 tam giác

Dễ dàng phân tích thành nhân tử :

$a^2+b^2+c^2 -2ab-2bc-2ca$

=$-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b} +\sqrt{a} -\sqrt{c})(\sqrt{a} +\sqrt{c} -\sqrt{b})(\sqrt{b} +\sqrt{c} -\sqrt{a}) \leq 0$

Vậy BDT được chứng minh hoàn toàn.

 

@chrome98: cảm ơn bạn đã có thời gian giải bài mình đăng lên. Nhiều bất đẳng thức khác của mình đăng vắng tanh . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 19-07-2013 - 17:10