Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Is Love]

Góp vui bằng bài toán này!      

Cho $a;b;c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $1$ và $n$ là số nguyên $\geq 2$. 

Chứng minh rằng:

$$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$

___________________

P/s: Đã sửa,xin lỗi mọi người!   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 21-07-2013 - 19:31

[holmes2013]

Góp vui bằng bài toán này!      

Cho $a;b;c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $1$ và $n$ là số nguyên $\geq 2$. 

Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a^n+b^n}+\sqrt{b^n+c^n}+\sqrt{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$

Phải là $\sum \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ chứ bạn

[holmes2013]

Góp vui bằng bài toán này!      

Cho $a;b;c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $1$ và $n$ là số nguyên $\geq 2$. 

Chứng minh rằng:

$$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$

___________________

P/s: Đã sửa,xin lỗi mọi người!   

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có: $\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\leq \sqrt[n]{2a^{n}}= \frac{\sqrt[n]{2}}{2}.2a< \frac{\sqrt[n]{2}}{2}\left ( a+b+c \right )$

          $\sqrt[n]{a^{n}+c^{n}}< a+\frac{c}{2}$

          $\sqrt[n]{b^{n}+c^{n}}< b+\frac{c}{2}$

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh