Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Dùng ẩn phụ là lượng giác, giải phương trình: $$2x+\sqrt{1+x^2}=\dfrac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{1-x^2}$$

 

[math1911]

Dùng ẩn phụ là lượng giác, giải phương trình: $$2x+\sqrt{1+x^2}=\dfrac{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}{1-x^2}$$

Đặt $x=tant$ với $ t\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in Z$ Lúc đó:

Phương trình $\Leftrightarrow 2tant +\frac{1}{|cost|}=\frac{\frac{1}{|cost|^{3}}}{1-tan^{2}t}$(1)

+Nếu $t\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ thì  $cost> 0$ lúc đó:

$(1)\Leftrightarrow 2tant+\frac{1}{cost}=\frac{\frac{1}{cos^{3}t}}{1-tan^{2}t}$

$\Leftrightarrow \frac{2sint+1}{cost}=\frac{1}{cost(1-2sin^{2}t)}$

$\Leftrightarrow (2sint+1)(1-2sin^{2}t)=1$

$\Leftrightarrow sint(2sin^{2}t+sint-1)=0$

$\Rightarrow sint=0;sint=\frac{1}{2};sint=-1(loại do đk:tan^{2}t\neq 1)$

Vậy trong trường hợp này pt có 3 nghiệm:$t=k\pi ;t=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi $

ta phải có:$-\frac{\pi }{2}< k\pi< \frac{\pi }{2} ;-\frac{\pi }{2}< \frac{\pi }{6}+k2\pi< \frac{\pi }{2} ;-\frac{\pi }{2}< \frac{5\pi }{6}+k2\pi< \frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow k=0$ nên $t=0;t=\frac{\pi }{6};t=\frac{5\pi }{6}$.Vậy pt ban đầu có 3 nghiệm:$x=0;x=\frac{1}{\sqrt{3}};x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

+Nếu $t\in (\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})$ lúc đó phương trình $(1)$ trở thành:

$2tant-\frac{1}{cost}=\frac{-\frac{1}{cos^{3}t}}{1-tan^{2}t}$

Biến đổi hoàn toàn tương tự ta cũng được:

$(2sint-1)(1-2sin^{2}t)=-1$

$\Rightarrow sint=0;sint=1;sint=-\frac{1}{2}$

nghiệm $sint=1$(loại do $tan^{2}t\neq 1$).

vậy:$t=k\pi ;t=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;t=\frac{7\pi }{6}+k2\pi $

và xét hoàn toàn tương tụ ta được:$k=0;k=1$ nên:

$t=0 ;t=-\frac{\pi }{6} ;t=\frac{7\pi }{6};t=\pi ;t=\frac{11\pi }{6};t=\frac{19\pi }{6}$

từ đây suy ra các nghiệm $x$.Kết hợp với các nghiệm trên cho ta các nghiẹm ban đâu của phương trình.