Chủ đề này có 2 trả lời

[holmes2013]

Cho các số thực a,b,c thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 3$. Chứng minh:

$\left ( a-b \right )\left ( a^{2} -9\right )+\left ( a-c \right )\left ( b^{2} -9\right )+\left ( b-c \right )\left ( c^{2}-9 \right )\leq 36$

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho các số thực a,b,c thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 3$. Chứng minh:

$\left ( a-b \right )\left ( a^{2} -9\right )+\left ( a-c \right )\left ( b^{2} -9\right )+\left ( b-c \right )\left ( c^{2}-9 \right )\leq 36$

$\left ( a-b \right )\left ( a^{2} -9\right )+\left ( a-c \right )\left ( b^{2} -9\right )+\left ( b-c \right )\left ( c^{2}-9 \right )=(a-c+c-b)(a^2-9)+\left ( a-c \right )\left ( b^{2} -9\right )+\left ( b-c \right )\left ( c^{2}-9 \right )=(c-a)(18-a^2-b^2)+(b-c)(c^2-a^2)=(c-a)(18+ab+bc-ac-a^2-b^2-c^2)$

Ta có:$(c-a)(18+ab+bc-ac-a^2-b^2-c^2)\leqslant c(18+bc-c^2-b^2)\leqslant c(18-\frac{3}{4}c^2-(b-\frac{c}{2})^2)\leqslant c(18-\frac{3}{4}c^2)$

Nếu $c< 2\Rightarrow c(18-\frac{3}{4}c^2)< 36$

Nếu $c>2$ đặt $c=2+x$ Thay vào ta có:$c(18-\frac{3}{4}c^2)=36+18x-\frac{3}{4}(x^3+6x^2+12x+8)=36-\frac{3}{4}x^3-\frac{9}{2}x^2+9x-6=36-\frac{3}{4}x^3-\frac{9}{2}(x-1)^2-\frac{3}{2}< 36$

Vậy $\left ( a-b \right )\left ( a^{2} -9\right )+\left ( a-c \right )\left ( b^{2} -9\right )+\left ( b-c \right )\left ( c^{2}-9 \right )< 36$

[nguyencuong123]

Mình không hiểu Nếuc<2 thì $c(18-\frac{3}{4}c^{2})<36$