Chủ đề này có 1 trả lời

[quangtq1998]

Cho $a,b,c > 0; a+b+c = 1 $ Chứng minh rằng :
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1} \ge (a\sqrt{a} + b\sqrt{b}+c\sqrt{c} ) ^2$

[banhgaongonngon]

Cho $a,b,c > 0; a+b+c = 1 $ Chứng minh rằng :
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1} \ge (a\sqrt{a} + b\sqrt{b}+c\sqrt{c} ) ^2$

 

Theo bất đẳng thức $Schwarz$ ta có:

 

$\sum \frac{a}{4b^{2}+1}=\sum \frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}$

$\geq \frac{\left ( \sum a\sqrt{a} \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4a^{2}b^{2}+4b^{2}c^{2}+4c^{2}a^{2}}$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4a^{2}b^{2}+4b^{2}c^{2}+4c^{2}a^{2}\leq 1=\left ( a+b+c \right )^{2} \Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\leq 0$

(đúng do $0 < ab,bc,ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{4}=\frac{1}{4}$)

 

Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.