Chủ đề này có 1 trả lời

[pidollittle]

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một, M là một điểm bất kì trong không gian.

Chứng minh rằng tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến 3 đỉnh nào đó ko nhỏ hơn bình phương khoảng cách từ M đến đỉnh còn lại.

 

[pidollittle]

Đây là lời giải trong cuốn TLCT11 mình post lên cho các bạn tham khảo nhé:

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Ta giả sử MA là đoạn lớn nhất trong các đoạn thảng MB, MC, MD. Khi ấy chỉ cần chm: $MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}\geq MA^{2}$

Ta có điều này <=> $MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}-MA^{2}\geq0$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM})^{2}+(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM})^{2}+(\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GM})^{2}-(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM})^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow GB^{2}+GC^{2}+GD^{2}-GA^{2}+2GM^{2}-2\overrightarrow{GM}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GA})\geq 0$ (*)

Do ABCD có AB=CD, AC=BD, BC=AD nên: GA = GB = GC = GD = R, khi ấy :

(*) $\Leftrightarrow -2\overrightarrow{GM}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GA})+ 2(R^{2}+GM^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow -2\overrightarrow{GM}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA})+4\overrightarrow{GM}.\overrightarrow{GA}+ 2 (R^{2}+GM^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}.\overrightarrow{GA}+R^{2}+GM^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}.\overrightarrow{GA}+GA^{2}+GM^{2}\geq 0\Leftrightarrow (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GM})^{2}\geq 0$

BĐT này luôn đúng.

Chỗ màu đỏ mình vấn chưa hiểu. @@ Ai giải thích giúp với !   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pidollittle: 21-07-2013 - 17:20