$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt{a_n}}$
#1
Đã gửi 21-07-2013 - 17:22
- vutuanhien yêu thích
#2
Đã gửi 07-08-2013 - 16:57
Trước hết từ công thức ở đề bài ta có thể thấy dãy này tăng
Và $a(n+2)=a(n+1)+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}=an+\frac{1}{\sqrt{an}}+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}$
Cứ như thế thì $a(n+2)=2+\sum_{2}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{ai}}$
và $a(n+2) \leg n + 2 $ khi n > 0
Do đó nếu muốn giới hạn trên khác 0 thì b > 0
Khi mà n đủ lớn thì a(n+2) -> 2 nên giới hạn trên tồn tại thì nó tương đương với giới hạn của $\frac{2^{b}}{n}$ ; nhưng giới hạn này không tồn tại với b là hằng số vì n không cố định khi ra vô hạn .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-08-2013 - 16:58
- pham thuan thanh yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 07-08-2013 - 19:03
Trước hết từ công thức ở đề bài ta có thể thấy dãy này tăng
Và $a(n+2)=a(n+1)+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}=an+\frac{1}{\sqrt{an}}+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}$
Cứ như thế thì $a(n+2)=2+\sum_{2}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{ai}}$
và $a(n+2) \leg n + 2 $ khi n > 0
Do đó nếu muốn giới hạn trên khác 0 thì b > 0
Khi mà n đủ lớn thì a(n+2) -> 2 nên giới hạn trên tồn tại thì nó tương đương với giới hạn của $\frac{2^{b}}{n}$ ; nhưng giới hạn này không tồn tại với b là hằng số vì n không cố định khi ra vô hạn .
Sai ở chỗ kết luận giới hạn của dãy $a_n$ là 2. Giới hạn của dãy $a_n$ luôn là vô cùng. Bài trên kết quả cần tìm là $1,5$
#4
Đã gửi 09-08-2013 - 10:34
Đề bài: Dãy số $a_n$ được xác định bởi $a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt{a_n}}$.Hãy tìm tất cả các số thực $\beta$ để dãy $\frac{a_n^\beta}{n}$ có giới hạn hữu hạn khác $0$VN TST 1993
Nhìn điều cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến định lý trung bình Cesaro
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $a_{n}\rightarrow \infty$ khi $n\rightarrow \infty$
Ta có $a_{n+1}^2=a_{n}^2+2\sqrt{a_{n}}+\frac{1}{a_{n}}> a_{n}^2+2$
Do đó $a_{n+1}^2> 1+2n$. Ta có đpcm
Xét biểu thức
$a_{n+1}^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}}=(a_{n}+\frac{1}{\sqrt{a_{n}}})^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}}=\frac{(1+\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}})^{\frac{3}{2}}-1}{\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}}}$
Đặt $b_{n}=\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}}$ thì $b_{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow \infty$
Áp dụng quy tắc L'Hôpital ta có
$\lim (a_{n+1}^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}})=\lim\frac{(1+b_{n})^{\frac{3}{2}}-1}{b_{n}}=\lim_{b\rightarrow 0}\frac{(1+b)^{\frac{3}{2}}-1}{b}=\frac{3}{2}$
Do đó theo định lý trung bình Cesaro, ta có $\lim\frac{a_{n}^\frac{3}{2}}{n}=\frac{3}{2}$
Với $\beta> \frac{3}{2}$ thì suy ra giới hạn bằng $\infty$
Với $\beta< \frac{3}{2}$ thì suy ra giới hạn bằng $0$
Vậy $\beta=\frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 09-08-2013 - 10:35
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#5
Đã gửi 09-08-2013 - 12:50
Cái mình thắc mắc là dự đoán số $\frac{3}{2}$ như thế nào ?
- tran thanh binh dv class yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh