Chủ đề này có 4 trả lời

[T M]

Đề bài: Dãy số $a_n$ được xác định bởi $a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt{a_n}}$.

 

Hãy tìm tất cả các số thực $\beta$ để dãy $\frac{a_n^\beta}{n}$ có giới hạn hữu hạn khác $0$

 

VN TST 1993

 

[bangbang1412]

Trước hết từ công thức ở đề bài ta có thể thấy dãy này tăng 

Và $a(n+2)=a(n+1)+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}=an+\frac{1}{\sqrt{an}}+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}$

Cứ như thế thì $a(n+2)=2+\sum_{2}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{ai}}$

và $a(n+2) \leg n + 2 $ khi n > 0 

Do đó nếu muốn giới hạn trên khác 0 thì b > 0 

Khi mà n đủ lớn thì a(n+2) -> 2 nên giới hạn trên tồn tại thì nó tương đương với giới hạn của $\frac{2^{b}}{n}$ ; nhưng giới hạn này không tồn tại với b là hằng số vì n không cố định khi ra vô hạn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-08-2013 - 16:58

[tran thanh binh dv class]

Trước hết từ công thức ở đề bài ta có thể thấy dãy này tăng 

Và $a(n+2)=a(n+1)+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}=an+\frac{1}{\sqrt{an}}+\frac{1}{\sqrt{a(n+1)}}$

Cứ như thế thì $a(n+2)=2+\sum_{2}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{ai}}$

và $a(n+2) \leg n + 2 $ khi n > 0 

Do đó nếu muốn giới hạn trên khác 0 thì b > 0 

Khi mà n đủ lớn thì a(n+2) -> 2 nên giới hạn trên tồn tại thì nó tương đương với giới hạn của $\frac{2^{b}}{n}$ ; nhưng giới hạn này không tồn tại với b là hằng số vì n không cố định khi ra vô hạn .

Sai ở chỗ kết luận giới hạn của dãy $a_n$ là 2. Giới hạn của dãy $a_n$ luôn là vô cùng. Bài trên kết quả cần tìm là $1,5$

[vutuanhien]

 

Đề bài: Dãy số $a_n$ được xác định bởi $a_1=1$ và $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt{a_n}}$.

 

Hãy tìm tất cả các số thực $\beta$ để dãy $\frac{a_n^\beta}{n}$ có giới hạn hữu hạn khác $0$

 

VN TST 1993

 

Nhìn điều cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến định lý trung bình Cesaro

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $a_{n}\rightarrow \infty$ khi $n\rightarrow \infty$

Ta có $a_{n+1}^2=a_{n}^2+2\sqrt{a_{n}}+\frac{1}{a_{n}}> a_{n}^2+2$

Do đó $a_{n+1}^2> 1+2n$. Ta có đpcm

Xét biểu thức

$a_{n+1}^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}}=(a_{n}+\frac{1}{\sqrt{a_{n}}})^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}}=\frac{(1+\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}})^{\frac{3}{2}}-1}{\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}}}$

Đặt $b_{n}=\frac{1}{a_{n}^{\frac{3}{2}}}$ thì $b_{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow \infty$

Áp dụng quy tắc L'Hôpital ta có

$\lim (a_{n+1}^{\frac{3}{2}}-a_{n}^{\frac{3}{2}})=\lim\frac{(1+b_{n})^{\frac{3}{2}}-1}{b_{n}}=\lim_{b\rightarrow 0}\frac{(1+b)^{\frac{3}{2}}-1}{b}=\frac{3}{2}$

Do đó theo định lý trung bình Cesaro, ta có $\lim\frac{a_{n}^\frac{3}{2}}{n}=\frac{3}{2}$

Với $\beta> \frac{3}{2}$ thì suy ra giới hạn bằng $\infty$

Với $\beta< \frac{3}{2}$ thì suy ra giới hạn bằng $0$

Vậy $\beta=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 09-08-2013 - 10:35

[T M]

Cái mình thắc mắc là dự đoán số $\frac{3}{2}$ như thế nào ?