Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhhuyen98]

Bài 1.

        Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH.

        D là điểm nằm giữa hai điểm A và H. Đường tròn đường kính AD cắt AB,

        AC lần lượt tại M và N khác A. 

 

a)    Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Tia

AE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng

 

[Juliel]

 

 

 

     Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH.

     D là điểm nằm giữa hai điểm A và H. Đường tròn đường kính AD cắt AB,  AC lần lượt tại M và N khác A.  Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Tia AE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng

 

Lời giải :

Để chứng minh $K,M,N$ thẳng hàng, ta sẽ chứng minh :

$$\widehat{KMB}=\widehat{AMN}$$

Thật vậy,

Hai tam giác vuông $AMD$ và $AHD$ đồng dạng nên : $AM.AB=AD.AH$

Tương tự : $AN.AC=AD.AH$

Suy ra $AM.AB=AN.AC\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow \Delta AMN\sim \Delta ACB\Rightarrow \widehat{ANM}=\widehat{MBC}$

Lại có $\widehat{ANM}=\widehat{MEK}$ (tứ giác $AEMN$ nội tiếp)

Do đó : $\widehat{MBC}=\widehat{MEK}\Rightarrow EMBK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{KMB}=\widehat{KEB}$ $(1)$

Mặt khác :

$\widehat{ACB}=\widehat{KEB}$ ($AEBC$ là tứ giác nội tiếp)  $(2)$

$\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$ ($\Delta AMN\sim \Delta ACB$) $(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra :

$\widehat{KMB}=\widehat{AMN}$

Vậy : $K,M,N$ thẳng hàng