Chứng minh rằng nếu $k=a^n-b^n$ chia hết cho $n$ với $a,b,k,n$ là các số nguyên thì $k$ chia hết cho $(a-b)n$.
Chứng minh $k$ chia hết cho $(a-b)n$
#1
Posted 25-07-2013 - 14:56
- nguyencuong123, Simpson Joe Donald and neusolve like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Posted 25-07-2013 - 15:03
Ta có $k\vdots n$.
Mặt khác, $k=a^n-b^n=(a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^k.b^{n-1-k})\vdots (a-b)$
Vậy $k\vdots (a-b)n$.
- nguyencuong123 likes this
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#3
Posted 25-07-2013 - 15:14
Ta có $k\vdots n$.
Mặt khác, $k=a^n-b^n=(a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^k.b^{n-1-k})\vdots (a-b)$
Vậy $k\vdots (a-b)n$.
chưa chắc bạn ạ thế bạn phải cm nốt (n,a-b)=1
ví dụ 32 chia hết cho 8 32 chia hết cho 16 nhưng 32 đâu có chia hết cho 8.16
tàn lụi
#4
Posted 25-07-2013 - 15:23
Chứng minh rằng nếu $k=a^n-b^n$ chia hết cho $n$ với $a,b,k,n$ là các số nguyên thì $k$ chia hết cho $(a-b)n$.
Áp dụng định lý LTE ta có $v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+v_{n}(n)$
$\Leftrightarrow v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+1$
Đặt $v_{n}(a-b)=\alpha$ hay $n^{\alpha }\parallel (a-b)$
Như vậy $v_{n}(a^{n}-b^{n})=\alpha +1$ hay là $n^{\alpha +1}\parallel (a^{n}-b^{n})$
$(a^{n}-b^{n})\vdots n^{\alpha +1}\Leftrightarrow (a-b)\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n^{\alpha +1}$
Mà $n^{\alpha }\parallel (a-b)$ nên $\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n$.
$a^{n}-b^{n}=(a-b).\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots (a-b)n$
- nguyencuong123 and LNH like this
#5
Posted 25-07-2013 - 15:28
Áp dụng định lý LTE ta có $v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+v_{n}(n)$
$\Leftrightarrow v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+1$
Đặt $v_{n}(a-b)=\alpha$ hay $n^{\alpha }\parallel (a-b)$
Như vậy $v_{n}(a^{n}-b^{n})=\alpha +1$ hay là $n^{\alpha +1}\parallel (a^{n}-b^{n})$
$(a^{n}-b^{n})\vdots n^{\alpha +1}\Leftrightarrow (a-b)\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n^{\alpha +1}$
Mà $n^{\alpha }\parallel (a-b)$ nên $\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n$.
$a^{n}-b^{n}=(a-b).\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots (a-b)n$
cho mình hỏi định lí LTE là j
và kí hiệu $\left | \right |$ là j nhỉ
- Juliel likes this
tàn lụi
#6
Posted 25-07-2013 - 15:30
#7
Posted 25-07-2013 - 15:33
Còn LTE là Lifting the Exponent bạn cứ search google sẽ có
$p^{\alpha }\parallel (a^n-b^n)$ có nghĩa là $a^{n}-b^{n}\vdots p^{\alpha }$ nhưng không chia hết cho $p^{\alpha +1}$
Edited by nhatquangsin, 25-07-2013 - 15:35.
#8
Posted 25-07-2013 - 15:46
Áp dụng định lý LTE ta có $v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+v_{n}(n)$
$\Leftrightarrow v_{n}(a^n-b^n)=v_{n}(a-b)+1$
Đặt $v_{n}(a-b)=\alpha$ hay $n^{\alpha }\parallel (a-b)$
Như vậy $v_{n}(a^{n}-b^{n})=\alpha +1$ hay là $n^{\alpha +1}\parallel (a^{n}-b^{n})$
$(a^{n}-b^{n})\vdots n^{\alpha +1}\Leftrightarrow (a-b)\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n^{\alpha +1}$
Mà $n^{\alpha }\parallel (a-b)$ nên $\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots n$.
$a^{n}-b^{n}=(a-b).\sum_{i=1}^{n-1}a^{i}b^{n-i-1}\vdots (a-b)n$
Đề đâu cho $n$ nguyên tố anh nhỉ ??
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#9
Posted 25-07-2013 - 16:17
Chứng minh rằng nếu $k=a^n-b^n$ chia hết cho $n$ với $a,b,k,n$ là các số nguyên thì $k$ chia hết cho $(a-b)n$.
Đè này sai,ví dụ cho $n=2$,chọn a,b khác tính chẵn lẻ.
The love make me study harder
The enmity make me stronger
#10
Posted 25-07-2013 - 16:49
Đè này sai,ví dụ cho $n=2$,chọn a,b khác tính chẵn lẻ.
a,b khác tính chẵn lẻ thì ko thỏa mãn đk k chia hết cho n rồi bạn
- huynhviectrung likes this
tàn lụi
#11
Posted 25-07-2013 - 17:08
a,b khác tính chẵn lẻ thì ko thỏa mãn đk k chia hết cho n rồi bạn
Uk ,cảm ơn bạn,tại mình không đọc kĩ đề bài
The love make me study harder
The enmity make me stronger
#12
Posted 26-07-2013 - 09:53
Cách làm khác 0 dùng LTE
Ta có $a^{n}-b^{n}=(a-b).(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})$
Do a,b chia hết cho n
$\Rightarrow (a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})\vdots n$
$\Rightarrow (a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})= xn$
$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=x(.a-b).n\vdots (a-b).n$
$\Rightarrow Q.E.D$
Edited by bossulan239, 26-07-2013 - 09:54.
#13
Posted 26-07-2013 - 10:34
Chứng minh rằng nếu $k=a^n-b^n$ chia hết cho $n$ với $a,b,k,n$ là các số nguyên thì $k$ chia hết cho $(a-b)n$.
Gọi $q$ là một ước nguyên tố bất kì của $a-b$. Ta chia làm hai trường hợp:
- Nếu $a\equiv b\equiv 0\pmod q$ thì gọi $a=q^u, b=q^v$ với $u\ge v$, nên $n|k=q^{vn}(q^{un-vn}-1)$. Nhận thấy nếu $n$ là một lũy thừa của $q$ thì do $v_q(a-b)=v$, $v_q(k)=vn$, nên $v_q(k)=vn=v+v(n-1)\ge v_q(a-b)+v_q(n)$ (do $v_q(n)\le n-1$ và nghiệm của $\log_x(n) \ge n-1$ chỉ có nghiệm $1$ hoặc $2$ thì loại do $2^{n-1}\ge n, \forall n\in\mathbb{Z^+}$. Nếu $n$ không chỉ có ước nguyên tố là $q$ mà còn có ước $q\nmid t$ và $t|q^{un-vn}-1$, khi đó hiển nhiên tổng số mũ của $q$ trong $a-b$ và $n$ đều nhỏ hơn số mũ của $q$ trong $k$. Nếu $t|\frac{(q^{u-v})^n-1}{q^{u-v}-1}=\alpha$ thì hiển nhiên có điều phải chứng minh. Giờ ta chỉ xét $t|q^{u-v}-1$ từ đây suy ra $ \Rightarrow q^{u-v}\equiv 1\pmod p$, nên $t$ cũng thuộc ước của $\alpha$ (khai triển theo $a^n-b^n$ rồi cộng lại suy ra $\alpha\equiv n\equiv 0\pmod t$).
- Nếu $p\nmid a,b$ thì nhận thấy $v_q(a^n-b^n)=v_q(a-b)+v_q(n)$. Nếu $n$ cũng chứa thừa số nguyên tố giống $a-b$ thì thỏa mãn, còn nếu không giống thì có điều phải chứng minh do $k$ chia hết cho $n$.
- Zaraki, chrome98 and nhatquangsin like this
\[ 1 - \left(\frac{5}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times 3}{2\times 4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\right)^3 + \cdots =\frac{2}{\pi} \]
#14
Posted 28-07-2013 - 08:54
Cách làm khác 0 dùng LTE
Ta có $a^{n}-b^{n}=(a-b).(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})$
Do a,b chia hết cho n
$\Rightarrow (a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})\vdots n$
$\Rightarrow (a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})= xn$
$\Rightarrow a^{n}-b^{n}=x(.a-b).n\vdots (a-b).n$
$\Rightarrow Q.E.D$
a,b có chia hết cho n đâu bạn
tàn lụi
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users