Chủ đề này có 5 trả lời

[wtuan159]

Tìm GTNN của biểu thức $P=xy+\frac{1}{xy}$ với $x+y=1$

 

 

 

MOD : Chú ý tiêu đề 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 25-07-2013 - 20:24

[25 minutes]

Tìm GTNN của biểu thức $P=xy+\frac{1}{xy}$ với $x+y=1$

 

 

 

MOD : Chú ý tiêu đề 

Cách 1 : AM-GM

Cách 2 : Ta có $y=1-x$

$\Rightarrow P=f(x)=x(1-x)+\frac{1}{x(1-x)}$

$\Rightarrow f'(x)=1-2x-\frac{1-2x}{(x-x^2)^2}=\frac{(1-2x)(x^4-2x^2+x^2-1)}{(x^2-x)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Lập bảng xét dấu của $f(x)$ với $x \in (0;1)$ ta thấy $f_{min}=f(\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

[badboykmhd123456]

Tìm GTNN của biểu thức $P=xy+\frac{1}{xy}$

bài này chắc có điều kiện $xy>0$ nhỉ

nếu thế ta áp dụng cauchy cho dấu bằng xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$ là đk

p/s: bạn ghi là ms học bdt nên mk ghi cả cái Cauchy ra nhé

Với các số dương $ a_1;a_2...;a_n$ ta có

      $ a_1+a_2+...+a_n \geq n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

trường hợp trên là với $n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 25-07-2013 - 20:35

[PTKBLYT9C1213]

$xy+\frac{1}{xy}=16xy+\frac{1}{xy}-15xy\geq 2\sqrt{16xy.\frac{1}{xy}}-15.\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{17}{4}$

Dấu "=" khi x=y=$\frac{1}{2}$

[wtuan159]

Cách 1 : AM-GM

Cách 2 : Ta có $y=1-x$

$\Rightarrow P=f(x)=x(1-x)+\frac{1}{x(1-x)}$

$\Rightarrow f'(x)=1-2x-\frac{1-2x}{(x-x^2)^2}=\frac{(1-2x)(x^4-2x^2+x^2-1)}{(x^2-x)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Lập bảng xét dấu của $f(x)$ với $x \in (0;1)$ ta thấy $f_{min}=f(\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

sao biết $x \varepsilon (0;1)$ hả bạn?

[PTKBLYT9C1213]

sao biết $x \varepsilon (0;1)$ hả bạn?

Chắc là đề bài phải cho x, y >0. Mà x = 1 - y nên 0 < x < 1