Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$
Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$
$\dpi{120} \small \;Thuc \;chat \; day \;chinh \; la\;bai \;toan \;: \;Cho \;a,b,c \;la \;cac \;so \;thuc \; duong\; thoa\;man \;a+b+c=3 \;CMR: \frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1\;.Ta CM \; BDT\;nay \; nhu\;sau \;.BDt \; can\;CM \;tuong \;duong \;voi \;(\frac{a}{2}-\frac{a}{b^3+2})+(\frac{b}{2}-\frac{b}{c^3+2})+\left ( \frac{c}{2}-\frac{c}{a^3+2} \right )\leq \frac{1}{2} \;hay \;\frac{ab^3}{b^3+2}+\frac{bc^3}{c^3+2}+\frac{ca^3}{a^3+2}\leq 1 \;Su \;dung \; BDT\;AM-GM \;,ta \;co \;b\leq \frac{b^3+1+1}{3}=\frac{b^3+2}{3}\rightarrow \frac{ab^3}{b^3+2}= \frac{ab^2.b}{b^3+2}\leq \frac{ab^2}{3}\; \rightarrow \sum \frac{ab^3}{b^3+2}\leq\ \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{3}\;.Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\;.BDT \;nay \;chinh \; la\; BDT\;co \;ban \;(a+b+c)^3\geq \frac{27}{4}(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \;$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 28-07-2013 - 18:55
Bai \;toan \; quy\; ve\; CM\; ab^2+bc^2+ca^2\leq 3.\;Mat \neq abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1\rightarrow can CM \; ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4\
Đây có phải cộng $2$ bất đẳng thức cùng chiều đâu mà làm thế này được ?
y anh la gi
Ta có $\left\{\begin{matrix} ab^2+bc^2+ca^2+abc \leqslant 4\\abc \leqslant 1 \end{matrix}\right.$ thì làm sa0 mà suy ra được $ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 3$
P/S: MOD xóa mấy bài spam này đi nhé
hoan toan co the gia su a+b+c=3 hoac abc =1 trong bai nay ma anh
Cho a,b,cdương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{3}+2}+\frac{b}{c^{3}+2}+\frac{c}{a^{3}+2}\geq 1$
Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$
$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$
Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$
$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$
$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$
$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$
Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$
$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 28-07-2013 - 21:55
Mình có cách này chẳng biết có đúng ko?
Ta có:
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{2a}{b^3+2}+\frac{2b}{c^3+2}+\frac{2c}{a^3+2} \geq 2$$$\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{b^3+2}+1-\frac{2b}{c^3+2}+1-\frac{2c}{a^3+2} \leq 1$$
Theo $AM-GM$ ta có: $b^3+2=b^3+1+1\geq3b$
$\Rightarrow$ BDT $\Leftrightarrow$ $$1-\frac{2a}{3b}+1-\frac{2b}{3c}+1-\frac{2c}{3a} \leq 1$$
$\Leftrightarrow$ $$3-\frac{2}{3}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \leq 1$$
$\Leftrightarrow$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3$$
Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$
$\Rightarrow$ BDT đc chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
ngược dấu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 31-07-2013 - 21:35
ngược dấu
cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế
Chuyên Vĩnh Phúc
cậu ơi nhìn lại đi nó cộng vào ra thế
mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi
mình bôi đên nhầm đấy cái dòng trên áp dụng Cauchy là ngược dấu rồi
Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Đúng mà bạn : $b^{3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}.1.1}=3b$ Ngược dấu sao được @@!
$b^3+1+1 \geq 3b\Rightarrow \frac{2a}{b^2+2} \leq \frac{2a}{3b}\Rightarrow 1-\frac{2a}{b^2+2} \geq 1-\frac{2a}{3b}$ đến đây đã thấy ngược chưa bởi đang cần chứng minh $VT \leq 1$ chứ không phải $\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 01-08-2013 - 08:53
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh