Cho x,y,z là các số thực dương. xyz=1. Tìm GTNN của
P = $\sum \frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+z\sqrt{z}}$
Lời giải :
Giả thiết $xyz=1$ có nhiều cách để xử lí, ở đây ta sẽ đánh giá làm sao để tử và mẫu có sự liên hệ "gần gũi" với nhau, cụ thể :
$$x^2(y+z) =x^2.y+x^2.z \geq 2.\sqrt{x^4yz}=2.x\sqrt{x};$$
Hoàn toàn tương tự, ta sẽ có:
$$P \geq \frac{2.x\sqrt{x}}{y.\sqrt{y}+z.\sqrt{z}}+\frac{2.y\sqrt{y}}{x.\sqrt{x}+z.\sqrt{z}}+\frac{2.z\sqrt{z}}{y.\sqrt{y}+x.\sqrt{x}}$$
Ta đặt $a=x.\sqrt{x};b=y.\sqrt{y};c=z.\sqrt{z}$, (a,b,c dương ) khi đó :
$$P \geq \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b};$$
mặt khác, để đánh giá biểu thức vế phải, ta xét biểu thức tổng quát hơn như sau :
Xét biểu thức $\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb};$ với $m,n$ dương, khi đó :
$$\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}=\frac{a^2}{mba+nca}+\frac{b^2}{mab+ncb}+\frac{c^2}{mac+nbc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(m+n)(ab+bc+ca)} \geq \frac{3(ab+ca+bc)}{(m+n)(ab+bc+ca)}=\frac{3}{m+n}$$
Áp dụng ta có : $P \geq 2$ ( Giả thiết $abc=1$ lúc này cũng chẳng cần)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
-------------------------------------