Chủ đề này có 4 trả lời

[dangviethung]

Cho a,b,c là ba số nguyên phân biệt. CM ko tồn tại đa thức P(x) sao cho P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a

 

[Juliel]

Cho a,b,c là ba số nguyên phân biệt. CM ko tồn tại đa thức P(x) sao cho P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c$

Sử dụng tính chất $f(a)-f(b)\vdots (a-b)$

Ta có : $P(a)-P(b)\vdots a-b\Rightarrow (b-c)\vdots (a-b)\Rightarrow |b-c|\geq |a-b|$  $(1)$

Tương tự, ta được :

$|c-a|\geq |b-c|$  $(2)$

$|a-b|\geq |c-a|$  $(3)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $|c-a|\geq |a-b|$  $(4)$ 

Từ $(3)(4)$ suy ra $|a-b|=|c-a|$

$\Rightarrow a-b= a-c\Rightarrow b=c$

Thay vào $(1)$ được $|a-b|\leq 0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$

Do đó $a=b=c$, mâu thuẫn với $a,b,c$ phân biệt

Vậy : Không tồn tại đa thức thỏa mãn đề bài

[PT42]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c$

Sử dụng tính chất $f(a)-f(b)\vdots (a-b)$

a, b, c không bình đẳng nên không thể giả sử $a \geq b\geq c$

 

Giải:

Có P(a) - P(b) = b - c $\vdots$ (a - b) $\Rightarrow$ b-c = x(a-b)

P(b) - P( c ) = c - a $\vdots$ (b - c) $\Rightarrow$ c - a = y( b-c)

P( c ) - P (a) = a - b $\vdots$ (c - a) $\Rightarrow$ a - b = z(c-a)

với x, y, q, z là các số nguyên

$\Rightarrow$ b- c = xzy (b- c) $\Rightarrow$ x.y.z = 1 (vì b - c $\neq$ 0 ) mà x, y, z nguyên nên x, y, z = $\pm$1

 

Nếu x = -1 thì b - c = -(a - b) = b - a $\Rightarrow$ a = c (vô lý)

$\Rightarrow$ x = 1.

Tương tự có y = z = 1

$\Rightarrow$ a - b = b - c = c - a = $\frac{(a-b) + (b-c) + (c-a)}{3}$ = 0 

$\Rightarrow$ a = b = c (vô lý) $\Rightarrow$ Không tồn tại P(x) thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 28-07-2013 - 10:06

[PT42]

Có thể làm như sau:

 

Giả sử a = max $\begin{Bmatrix} a, b, c \end{Bmatrix}$ . Xét 2 trường hợp:

 

- Nếu $a\geq b\geq c$ thì a - c $\geq$ a - b $\geq$ 0.

Mà (-1) . (P(a) - P( c )) = - (b - a) = a - b $\vdots$  (a-c)

Nên a - b = a - c $\Rightarrow$  b = c (vô lý)

 

- Nếu $a\geq c\geq b$ thì a - b $\geq$ c - b $\geq$ 0.

Mà (-1).( P(a) - P(b)) = c - b $\vdots$ (a-b)

$\Rightarrow$ c - b = a - b $\Rightarrow$ a = c (vô lý). 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 28-07-2013 - 09:52

[dangviethung]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c$

Sử dụng tính chất $f(a)-f(b)\vdots (a-b)$

Ta có : $P(a)-P(b)\vdots a-b\Rightarrow (b-c)\vdots (a-b)\Rightarrow |b-c|\geq |a-b|$  $(1)$

Tương tự, ta được :

$|c-a|\geq |b-c|$  $(2)$

$|a-b|\geq |c-a|$  $(3)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $|c-a|\geq |a-b|$  $(4)$ 

Từ $(3)(4)$ suy ra $|a-b|=|c-a|$

$\Rightarrow a-b= a-c\Rightarrow b=c$

Thay vào $(1)$ được $|a-b|\leq 0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$

Do đó $a=b=c$, mâu thuẫn với $a,b,c$ phân biệt

Vậy : Không tồn tại đa thức thỏa mãn đề bài

Huy này, đa thức P(x) đâu phải hệ số nguyên đâu mà bạn áp dụng tính chất f(a) - f(b) chia hết cho a - b được

Bạn coi lại xem nhé